Use o índice deste livro para localizar a definição de matriz triangular. Mostre que o conjunto F1 das matrizes triangulares inferiores e o conjunto F2 das matrizes triangulares superiores são
subespaços vetoriais de M(n times n), que M(n times n)=F1+F2 e que não se tem M(n times n)=F1 oplus F2.

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com o espaço vetorial M(ntimes n) das matrizes de ordem n e com os subconjuntos F1 e F2, onde F1 é o conjunto das matrizes triangulares inferiores e F2 o conjunto das matrizes triangulares superiores. Precisamos mostrar que F1 e F2 são subespaços de M(ntimes n), que M(ntimes n)=F1+F2 e que essa soma não é direta.

Passo 2

Definimos uma matriz Ain M(ntimes n) como triangular inferior se Aij=0 sempre que i, e triangular superior se Aij=0 sempre que i>j. Para provar que F1 é subespaço, tomamos A,Bin F1 e alphainK; então (A+B)ij=Aij+Bij=0+0=0 para i, logo A+Bin F1. Similarmente alpha Ain F1. O mesmo vale para F2 usando a condição i>j.

Passo 3

Para mostrar que M(ntimes n)=F1+F2, pegamos Ain M(ntimes n) e definimos Lin F1 e Uin F2 por
Lij=Aij,&se i>= j,0,&se i
e
Uij=Aij,&se i= j
Então A=L+U e claramente Lin F1, Uin F2.

Passo 4

Encontramos a interseção: F1cap F2 é o conjunto das matrizes que são simultaneamente triangulares inferiores e superiores, logo satisfazem Aij=0 para i e i>j. Isso implica que Aijneq0 somente se i=j, ou seja, A é diagonal. Logo F1cap F2=matrizes diagonais, que não é apenas 0.

Passo 5

Concluímos que F1 e F2 são subespaços de M(ntimes n), que M(ntimes n)=F1+F2 e que não há soma direta pois F1cap F2 contém todas as matrizes diagonais além da matriz zero.

Resposta

Os conjuntos F₁ e F₂ são subespaços de M(n×n), temos M(n×n)=F₁+F₂ e não ocorre soma direta pois F₁∩F₂ é o espaço das matrizes diagonais, de dimensão n, distinto de {0}.

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