Use o índice deste livro para localizar a definição de matriz triangular. Mostre que o conjunto
das matrizes triangulares inferiores e o conjunto
das matrizes triangulares superiores são
subespaços vetoriais de
, que
e que não se tem
.
subespaços vetoriais de
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar com o espaço vetorial
das matrizes de ordem
e com os subconjuntos
e
, onde
é o conjunto das matrizes triangulares inferiores e
o conjunto das matrizes triangulares superiores. Precisamos mostrar que
e
são subespaços de
, que
e que essa soma não é direta.
Passo 2
Definimos uma matriz
como triangular inferior se
sempre que
, e triangular superior se
sempre que
. Para provar que
é subespaço, tomamos
e
; então
para
, logo
. Similarmente
. O mesmo vale para
usando a condição
.
Passo 3
Para mostrar que
, pegamos
e definimos
e
por
e
Então
e claramente
,
.
Passo 4
Encontramos a interseção:
é o conjunto das matrizes que são simultaneamente triangulares inferiores e superiores, logo satisfazem
para
e
. Isso implica que
somente se
, ou seja,
é diagonal. Logo
, que não é apenas
.
Passo 5
Concluímos que
e
são subespaços de
, que
e que não há soma direta pois
contém todas as matrizes diagonais além da matriz zero.
Resposta
Os conjuntos F₁ e F₂ são subespaços de M(n×n), temos M(n×n)=F₁+F₂ e não ocorre soma direta pois F₁∩F₂ é o espaço das matrizes diagonais, de dimensão n, distinto de {0}.