Para todo subespaço vetorial F subset R^n, prove que existe um subespaço G subset R^n tal que R^n=F oplus G.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: dado um subespaço vetorial FsubsetR^n, provar que existe outro subespaço GsubsetR^n tal que
R^n = F oplus G. O conteúdo principal é teoria de bases e soma direta de subespaços, e vamos usar o teorema de extensão de base.

Passo 2

Como é subespaço de , podemos escolher uma base finita de . Digamos
$ k = \dim(F)$.

Passo 3

Pelo teorema de extensão de base, podemos completar essa base a uma base de . Ou seja, existem vetores tais que
é base de .

Passo 4

Definimos o subespaço G como o subespaço gerado pelos vetores adicionados:
G = spanwk+1, dots, wn
Por construção, G tem dimensão n-k e é subespaço de R^n.

Passo 5

Agora mostramos que R^n = F + G. Qualquer vetor em R^n se escreve unicamente como combinação linear dos vetores de B. Logo, pode ser decomposto como soma de algo em spanv1,dots,vk=F e algo em G.

Passo 6

Falta checar que a soma é direta, ou seja, F cap G = 0. Mas como B é conjunto de vetores linearmente independentes, não há combinação não trivial que expresse algo não-nulo simultaneamente em F e em G. Assim só o zero pertence à interseção.

Passo 7

Concluímos que R^n = F oplus G, com
G = spanwk+1, dots, wn

Resposta

Para qualquer base v1,dots,vk de F, estenda-a a uma base v1,dots,vk,wk+1,dots,wn de R^n. Defina G=spanwk+1,dots,wn. Então R^n=Foplus G.

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