Para todo subespaço vetorial
, prove que existe um subespaço
tal que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: dado um subespaço vetorial
, provar que existe outro subespaço
tal que
. O conteúdo principal é teoria de bases e soma direta de subespaços, e vamos usar o teorema de extensão de base.
Passo 2
Como
é subespaço de
, podemos escolher uma base finita de
. Digamos
$
k = \dim(F)$.
Passo 3
Pelo teorema de extensão de base, podemos completar essa base
a uma base de
. Ou seja, existem vetores
tais que
é base de
.
Passo 4
Definimos o subespaço
como o subespaço gerado pelos vetores adicionados:
Por construção,
tem dimensão
e é subespaço de
.
Passo 5
Agora mostramos que
. Qualquer vetor em
se escreve unicamente como combinação linear dos vetores de
. Logo, pode ser decomposto como soma de algo em
e algo em
.
Passo 6
Falta checar que a soma é direta, ou seja,
. Mas como
é conjunto de vetores linearmente independentes, não há combinação não trivial que expresse algo não-nulo simultaneamente em
e em
. Assim só o zero pertence à interseção.
Passo 7
Concluímos que
, com
Resposta
Para qualquer base
de
, estenda-a a uma base
de
. Defina
. Então
.