Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
Os vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética de razão fixada.

Passo 1

O conjunto em questão é S_d = {x ∈ ℝ^n | as coordenadas de x formam uma progressão aritmética de razão fixa d}. Vamos ver se S_d é subespaço de ℝ^n. Na teoria, um subconjunto é subespaço se e somente se contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: o vetor zero é 0 = (0,0,…,0). Se 0 ∈ S_d, suas coordenadas devem formar uma PA de razão d, isto é, 0,0,…,0 com diferença entre termos consecutivos igual a d. Mas 0–0 = 0, logo d deve ser 0. Conclusão: 0 ∈ S_d ⇔ d = 0.

Passo 3

Fechamento sob soma: tomemos x,y ∈ S_d. Então x_i = a + (i–1)d e y_i = b + (i–1)d. Assim,(x+y){i+1}–(x+y)i = (x{i+1}+y{i+1})–(x_i+y_i) = d + d = 2d. Logo x+y ∈ S_{2d}, que só coincide com S_d se d=0.

Passo 4

Fechamento sob escalar: para α ∈ ℝ e x ∈ S_d, temos x_{i+1}–x_i = d e em αx as diferenças ficam αx_{i+1}–αx_i = αd. Logo αx ∈ S_{αd}, que só é S_d se d=0.

Passo 5

Como todas as três condições (vetor zero, soma e escalar) só valem quando d=0, concluímos que S_d é subespaço de ℝ^n somente nessa situação. Nesse caso S_0 = { vetores com todas as coordenadas iguais } = Span{(1,1,…,1)}.

Resposta

O conjunto é subespaço apenas se d = 0, ou seja, somente quando a progressão aritmética for constante.

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