Use a fórmula acima para determinar a projeção ortogonal do vetor ( 1,2,3 ) sobre o plano gerado pelos vetores (1,1,1) e (1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor v=(1,2,3) sobre o plano gerado pelos vetores u1=(1,1,1) e u2=(1,-1,1). O conteúdo aqui é projeção em subespaço de R^3, e vamos precisar usar o vetor normal ao plano e a fórmula de projeção em direção a esse normal.

Passo 2

Para encontrar o vetor normal n ao plano, usamos o produto vetorial
n = u1 times u2 = (1,1,1) times (1,-1,1)
Fazendo o cálculo componente a componente, obtemos n = (2,0,-2).

Passo 3

Em seguida, calculamos a projeção de v sobre esse normal usando
projn(v)=vcdot nncdot n,n
Aqui vcdot n = 1cdot2 + 2cdot0 + 3cdot(-2) = -4 e ncdot n = 2^2+0^2+(-2)^2 = 8. Logo
projn(v)=-48(2,0,-2)=(-1,0,1)

Passo 4

Por fim, a projeção de v no plano é dada por
projplano(v)=v-projn(v)
e ao substituir temos
(1,2,3)-(-1,0,1)

Resposta

(2,2,2)

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