Sejam
sobrejetiva e
injetiva. Prove que
. (Generalização do Exercício 16.19.)
Passo 1
O enunciado: dadas as aplicações lineares
sobrejetiva e
injetiva, precisamos mostrar que
. O conteúdo é a pseudoinversa de Moore–Penrose e vamos usar suas quatro propriedades junto com as condições de sobrejetividade e injetividade.
Passo 2
Definição e propriedades: para qualquer matriz
, sua pseudoinversa
é única e satisfaz as quatro condições de Moore–Penrose:
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) .
Além disso, como é sobrejetiva (full row rank), vale
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Além disso, como
e como
é injetiva (full column rank), vale
Passo 3
Verificação das primeiras duas condições: definindo
e
, temos
e
Passo 4
Verificação da simetria: calculamos
que é simétrico, logo
. E
que também é simétrico, logo
.
Passo 5
Como
satisfaz as quatro condições de Moore–Penrose para
e essa pseudoinversa é única, concluímos que, para
vale
Resposta
(BA)+=A+B^+