Sejam A: R^m R^n sobrejetiva e B: R^n R^m injetiva. Prove que (B A)^+=A^+ B^+. (Generalização do Exercício 16.19.)

Passo 1

O enunciado: dadas as aplicações lineares A:R^mtoR^n sobrejetiva e B:R^ntoR^m injetiva, precisamos mostrar que (BA)^+=A^+B^+. O conteúdo é a pseudoinversa de Moore–Penrose e vamos usar suas quatro propriedades junto com as condições de sobrejetividade e injetividade.

Passo 2

Definição e propriedades: para qualquer matriz C, sua pseudoinversa C^+ é única e satisfaz as quatro condições de Moore–Penrose:
(i) CC^+C=C,
(ii) C^+CC^+=C^+,
(iii) (CC^+)^T=CC^+,
(iv) (C^+C)^T=C^+C.
Além disso, como A é sobrejetiva (full row rank), vale
AA^+=In,
e como B é injetiva (full column rank), vale
B^+B=In

Passo 3

Verificação das primeiras duas condições: definindo C=BA e C^+cand=A^+B^+, temos
CC^+candC = B,A,A^+,B^+,B,A = B,In,In,A = B A = C,
e
C^+candCC^+cand = A^+,B^+,B,A,A^+,B^+ = A^+,In,In,B^+ = A^+B^+ = C^+cand

Passo 4

Verificação da simetria: calculamos
CC^+cand = B,A,A^+,B^+ = B,In,B^+ = B B^+,
que é simétrico, logo (CC^+cand)^T=CC^+cand. E
C^+candC = A^+,B^+,B,A = A^+,In,A = A^+A,
que também é simétrico, logo (C^+candC)^T=C^+candC.

Passo 5

Como A^+B^+ satisfaz as quatro condições de Moore–Penrose para C=BA e essa pseudoinversa é única, concluímos que, para BA vale
(BA)^+ = A^+B^+

Resposta

(BA)+=A+B^+

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