Para toda transformação linear
e todo
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas uma transformação linear A: E→F e um escalar α≠0, o pseudoinverso de αA é exatamente (1/α)A⁺. Vamos usar a definição do pseudoinverso (Moore–Penrose), que é o único operador A⁺: F→E que satisfaz as quatro condições de Penrose. Para provar a igualdade, basta exibir que B = (1/α)A⁺ satisfaz essas quatro propriedades para αA, garantindo a unicidade de (αA)⁺.
Passo 2
Como segundo passo, definimos explicitamente B = (1/α)·A⁺ e mostraremos que B cumpre as condições de Penrose relativas a αA. As condições são:
- (αA) B (αA) = αA;
- B (αA) B = B;
- ( (αA) B )* = (αA) B;
- ( B (αA) )* = B (αA).
Passo 3
Verificação das duas primeiras condições:
Utilizando linearidade e as propriedades de A⁺, temos
Utilizando linearidade e as propriedades de A⁺, temos
pois por definição de pseudoinverso A A⁺ A = A. Analogamente,
usando A⁺ A A⁺ = A⁺.
Passo 4
Verificação das condições de Hermiticidade:
Note que
Note que
e sabemos que A A⁺ é autoadjunto: (A A⁺)* = A A⁺. Logo
Do mesmo modo,
e A⁺ A também é autoadjunto. Assim
Passo 5
Como B satisfaz todas as quatro propriedades de Penrose para αA, pela unicidade do pseudoinverso segue que B = (αA)⁺.
Resposta
(αA)^{+} = \tfrac{1}{α} A^{+}