Para toda transformação linear A: E F e todo alpha neq 0, prove que (alpha cdot A)^+=1alpha cdot A^+.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas uma transformação linear A: E→F e um escalar α≠0, o pseudoinverso de αA é exatamente (1/α)A⁺. Vamos usar a definição do pseudoinverso (Moore–Penrose), que é o único operador A⁺: F→E que satisfaz as quatro condições de Penrose. Para provar a igualdade, basta exibir que B = (1/α)A⁺ satisfaz essas quatro propriedades para αA, garantindo a unicidade de (αA)⁺.

Passo 2

Como segundo passo, definimos explicitamente B = (1/α)·A⁺ e mostraremos que B cumpre as condições de Penrose relativas a αA. As condições são:
  1. (αA) B (αA) = αA;
  2. B (αA) B = B;
  3. ( (αA) B )* = (αA) B;
  4. ( B (αA) )* = B (αA).

Passo 3

Verificação das duas primeiras condições:
Utilizando linearidade e as propriedades de A⁺, temos
(αA) B (αA) = αA l(tfrac1αA⁺r) αA = (α·tfrac1α),A A⁺ αA = A A⁺ αA = αA,
pois por definição de pseudoinverso A A⁺ A = A. Analogamente,
B (αA) B = l(tfrac1αA⁺r) αA l(tfrac1αA⁺r) = (tfrac1α·α·tfrac1α),A⁺ A A⁺ = tfrac1αA⁺ = B,
usando A⁺ A A⁺ = A⁺.

Passo 4

Verificação das condições de Hermiticidade:
Note que
(αA) B = αA l(tfrac1αA⁺r) = A A⁺,
e sabemos que A A⁺ é autoadjunto: (A A⁺)* = A A⁺. Logo
((αA) B)* = (A A⁺)* = A A⁺ = (αA) B
Do mesmo modo,
B (αA) = l(tfrac1αA⁺r) αA = A⁺ A,
e A⁺ A também é autoadjunto. Assim
(B (αA))* = (A⁺ A)* = A⁺ A = B (αA)

Passo 5

Como B satisfaz todas as quatro propriedades de Penrose para αA, pela unicidade do pseudoinverso segue que B = (αA)⁺.

Resposta

(αA)^{+} = \tfrac{1}{α} A^{+}

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