Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
\int_{1}^{3} \frac{5}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{3}\frac{5}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e propriedades de integrais. O conteúdo principal é a integração de potências de x.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral e escrevemos cada termo com potência negativa:
\int_{1}^{3}\frac{5}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}}\,dx =\int_{1}^{3}5x^{-4}\,dx \;-\;\int_{1}^{3}2x^{-3}\,dx.

Passo 3

Para integrar usamos a regra de potência \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • \displaystyle \int5x^{-4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{5}{3}x^{-3}.
  • \displaystyle \int2x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -\,x^{-2}.
    Logo, uma primitiva comum é
F(x) = -\frac{5}{3}x^{-3} + x^{-2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{3}\frac{5}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}}\,dx = F(3)-F(1).
Calculando:
F(3)=-\frac{5}{3}\,3^{-3}+3^{-2} =-\frac{5}{81}+\frac{1}{9} =\frac{4}{81},
F(1)=-\frac{5}{3}\cdot1^{-3}+1^{-2} =-\frac{5}{3}+1 =-\frac{2}{3}.
Portanto
F(3)-F(1) =\frac{4}{81}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\frac{4}{81}+\frac{2}{3} =\frac{4}{81}+\frac{54}{81} =\frac{58}{81}.

Resposta

\displaystyle \frac{58}{81}

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