5.3.4 Para que valores de
a matriz de rotação
possui autovalores reais? Interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que a matriz de rotação
tenha autovalores reais. O conteúdo principal aqui é o cálculo dos autovalores via a equação característica
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica de
. Para
genérico,
Logo a equação característica é
Passo 3
Resolvendo
pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos
isto é,
Passo 4
Para que esses autovalores sejam reais, precisamos de
. Assim,
Geometricamente, isso significa que só para
(identidade) ou
(meia-volta) há direções reais invariantes; para outras rotações não existem autovetores reais.