5.3.4 Para que valores de theta a matriz de rotação
R(theta)=[rr cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ]
possui autovalores reais? Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de theta tais que a matriz de rotação
R(theta)= costheta & -sentheta sentheta & costheta
tenha autovalores reais. O conteúdo principal aqui é o cálculo dos autovalores via a equação característica det(R(theta)-lambda I)=0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica de R(theta). Para lambda genérico,
detl(R(theta)-lambda Ir) =det costheta-lambda & -sentheta sentheta & costheta-lambda =(costheta-lambda)^2 + sen^2theta
Logo a equação característica é
(costheta-lambda)^2 + sen^2theta =0 Long<=ftrightarrow lambda^2 -2costheta,lambda +1 =0

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 -2costheta,lambda +1 =0
pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos
lambda = costheta pm raizcos^2theta -1 =costheta pm i,sentheta,
isto é,
lambda = e^,itheta e lambda = e^-,itheta

Passo 4

Para que esses autovalores sejam reais, precisamos de sentheta=0. Assim,
sentheta=0 Longrightarrow theta = kpi, kinZ
Geometricamente, isso significa que só para theta=0 (identidade) ou theta=pi (meia-volta) há direções reais invariantes; para outras rotações não existem autovetores reais.

Resposta

theta = kpi, com kinZ.

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