34 Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida a vara, seu comprimento aumenta de 0,005 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} e seu diâmetro aumenta de 0,002 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}. Qual a taxa de variação do volume da vara quando seu comprimento é de 40 cm e seu diâmetro 3 cm ?

Passo 1

O enunciado descreve uma vara cilíndrica de metal cujo comprimento L cresce a \tfrac{dL}{dt}=0,005 cm/min e cujo diâmetro D cresce a \tfrac{dD}{dt}=0,002 cm/min. Precisamos achar a taxa de variação do volume V desse cilindro quando L=40 cm e D=3 cm.

Passo 2

Como o raio r do cilindro relaciona-se com o diâmetro por r=\tfrac{D}{2}, temos
\tfrac{dr}{dt} \;=\;\tfrac{1}{2}\,\tfrac{dD}{dt} \;=\;\tfrac{1}{2}\cdot0,002 \;=\;0,001\text{ cm/min}.

Passo 3

O volume do cilindro é dado por
V=\pi\,r^{2}L.
Derivando em relação ao tempo,
\tfrac{dV}{dt} =\pi\bigl(2r\,\tfrac{dr}{dt}\,L + r^{2}\,\tfrac{dL}{dt}\bigr).

Passo 4

Substituindo r=1,5 cm, \tfrac{dr}{dt}=0,001 cm/min e \tfrac{dL}{dt}=0,005 cm/min em L=40 cm:
\tfrac{dV}{dt} =\pi\bigl(2\cdot1,5\cdot0,001\cdot40 + (1,5)^{2}\cdot0,005\bigr) =\pi\bigl(0,12 + 0,01125\bigr) =0,13125\,\pi\text{ cm}^3\!/ \min.

Resposta

\tfrac{dV}{dt}=0,13125\,\pi\approx0,4125\text{ cm}^3\!/ \min.

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