11 Gás está sendo bombeado para um balão esférico à razão de 0,1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 0,45 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado diz que gás entra num balão esférico à razão de \frac{dV}{dt}=0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} e pede \frac{dr}{dt} quando o raio é r=0,45\\ \mathrm{m}. O conteúdo que vamos usar é taxas relacionadas (related rates) e a fórmula do volume de uma esfera, além da regra da cadeia para diferenciarmos em relação ao tempo.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função do raio:
V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t, usando a regra da cadeia V depende de r e r depende de t:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^3\Bigr) = 4\,\pi\,r^2\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Isolamos \frac{dr}{dt}:
\frac{dr}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{4\,\pi\,r^2}.
Substituímos \frac{dV}{dt}=0,1 e r=0,45:

Passo 4

Calculamos o denominador:
4\,\pi\,(0,45)^2 = 4\,\pi \times 0,2025 = 0,81\,\pi.
Então
\frac{dr}{dt} = \frac{0,1}{0,81\,\pi} \approx 0,0393\\ \mathrm{m/min}.

Resposta

\displaystyle \frac{dr}{dt}\approx 0,0393\\ \mathrm{m/min} quando r=0,45\\ \mathrm{m}.

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