Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
(forall x) p(x) p(x)

Passo 1

O enunciado pede para ver se a fórmula (\forall x) p(x) \rightarrow p(x) é válida (tautologia) ou, em caso contrário, dar uma interpretação que a torne falsa. O conteúdo é Semântica de Lógica de 1ª ordem, vamos precisar da definição de satisfatibilidade de forall e de conectivo “ ”.

Passo 2

Seja M = (D, p^M) qualquer estrutura e seja s qualquer atribuição de variáveis. Precisamos mostrar que M,s models (forall x) p(x) p(x). Avaliamos a implicação em dois casos:
Caso 1: M,s models (forall x)p(x). Pela semântica de forall, para todo din D vale M,s[xmapsto d]models p(x). Em particular, para d = s(x) temos M,smodels p(x). Então o antecedente é verdadeiro e o consequente também, logo a implicação é verdadeira.
Caso 2: M,s notmodels (forall x)p(x). Aqui o antecedente da implicação é falso, e uma implicação com antecedente falso é sempre verdadeira. Portanto, em qualquer caso a implicação vale.

Passo 3

Como o argumento não depende de nenhuma escolha especial de M ou de s, a fórmula é verdadeira em toda interpretação e toda atribuição. Logo, é válida (tautologia).

Resposta

A fórmula é válida (tautologia).

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