Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é válida (verdadeira em toda interpretação) ou encontrar uma interpretação que a torne falsa. O conteúdo é lógica de predicados de primeira ordem e vamos precisar do conceito de interpretação e de contra-exemplo para validade.
Passo 2
Uma fórmula é válida se for verdadeira em toda interpretação (todo domínio e toda atribuição de verdade ao predicado). Para mostrar que não é válida, basta achar uma interpretação onde o antecedente seja verdadeiro e o consequente seja falso.
Considere uma interpretação com domínio
e definimos a relação
por
Passo 3
Agora verificamos cada parte da fórmula nessa interpretação:
-
Para cada
: - se
, existe com ; - se
, existe com .
Logo, o antecedente
é verdadeiro. - se
-
Mas não existe
tal que seja verdadeiro, pois e são falsas. Assim, o consequente é falso.
Passo 4
Como conseguimos uma interpretação em que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, a implicação inteira também é falsa nessa interpretação. Portanto, a fórmula não é verdadeira em toda interpretação, ou seja, não é válida.
Resposta
A fórmula não é válida. Um contra-exemplo é a interpretação com domínio
e
,
, em que o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.