Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para ver se a fórmula (\forall x)(p(x)\vee r(x)) \to ( (\forall x)p(x) \vee (\forall x)r(x) ) é uma tautologia em Lógica de Primeira Ordem ou, se não for, dar uma interpretação que a torne falsa.
Passo 2
Uma fórmula é válida (ou tautologia) se for verdadeira em toda interpretação possível. Para mostrar que não é válida, basta achar uma interpretação (domínio e atribuição de verdade para os predicados) que faça a fórmula inteira ser falsa.
Passo 3
Vamos escolher um domínio com dois elementos, por exemplo D = {1,2}. Definimos p e r de modo que em cada elemento um deles seja verdadeiro, mas nunca os dois ao mesmo tempo: – p(1) = V, p(2) = F; – r(1) = F, r(2) = V.
Passo 4
Sob essa interpretação, avaliaremos antecedente e consequente: 1) (\forall x)(p(x)\vee r(x)) é verdadeiro, pois em x=1 temos p(1)∨r(1)=V∨F=V e em x=2 temos p(2)∨r(2)=F∨V=V. Logo, o antecedente é V. 2) (\forall x)p(x) é F (pois p(2)=F) e (\forall x)r(x) é F (pois r(1)=F). Então o consequente (\forall x)p(x)∨(\forall x)r(x) é F∨F=F.
Passo 5
Como antecedente = V e consequente = F, a implicação fica V→F, ou seja, F. Portanto encontramos uma interpretação que falsifica a fórmula, mostrando que não é válida.
Resposta
A fórmula não é válida. Uma interpretação que a torna falsa é: Domínio D={1,2}, p(1)=V, p(2)=F, r(1)=F, r(2)=V.