Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula de lógica de predicados abaixo é válida (verdadeira em toda interpretação) ou, caso não seja, exibir uma interpretação que a torne falsa. O conteúdo envolvido é equivalência lógica de fórmulas com quantificadores universais.
Passo 2
Uma fórmula é válida se, para toda interpretação (domínio e atribuição de verdade a predicados), ela assume valor verdadeiro. Para mostrar que ela não é válida, basta encontrar uma interpretação que a faça falsa.
Passo 3
Considere a interpretação I com domínio D={a} e definamos p e q em I como: p(a)=V (verdadeiro) e q(a)=V. Avaliemos cada lado da equivalência.
No lado esquerdo temos \(\forall x)(p(x) \wedge q(x))\. Como há apenas o elemento a, isso equivale a p(a) \wedge q(a), que é V \wedge V = V. No lado direito temos \(\forall x)(p(x) \rightarrow \neg q(x))\, que equivale a p(a) \rightarrow \neg q(a). Como p(a)=V e q(a)=V, então \neg q(a)=F e V \rightarrow F = F.
No lado esquerdo temos \(\forall x)(p(x) \wedge q(x))\. Como há apenas o elemento a, isso equivale a p(a) \wedge q(a), que é V \wedge V = V. No lado direito temos \(\forall x)(p(x) \rightarrow \neg q(x))\, que equivale a p(a) \rightarrow \neg q(a). Como p(a)=V e q(a)=V, então \neg q(a)=F e V \rightarrow F = F.
Passo 4
Os dois lados diferem (V no esquerdo e F no direito), logo a equivalência é falsa nessa interpretação. Concluímos que a fórmula não é válida em todas as interpretações.
Resposta
A fórmula não é válida. Uma interpretação que a falsifica é D={a} com p(a)=V e q(a)=V, pois então o primeiro lado vale V e o segundo vale F, tornando a equivalência falsa.