Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é uma tautologia em Lógica de Predicados, ou então exibir uma interpretação que a torne falsa. Vamos usar a equivalência conhecida entre quantificadores e conectivos para provar que ela vale em qualquer interpretação.
Passo 2
Primeiro, note que o
interno usa o mesmo símbolo de variável, mas podemos renomeá-lo para não confundir. Defina
então a fórmula fica
Passo 3
Agora usamos a equivalência proposicional e de quantificadores:
-
é equivalente a . -
é equivalente a . - Isso equivale a
, ou seja, . - E
é exatamente , que por sua vez é a definição de .
Portanto mostramos que
em qualquer interpretação.
Passo 4
Como escolhemos
, acabamos de provar que ambos os lados da bicondicional são sempre equivalentes. Logo, a fórmula original é válida (uma tautologia) em Lógica de Predicados.
Resposta
A fórmula é válida em qualquer interpretação; trata-se de uma tautologia.