Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
(exists x)(p(x) p(a)) wed>=(p(x) p(b))

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula exists xl[(p(x)to p(a))wed>=(p(x)to p(b))r] é válida (touologia) ou, se não for, dar uma interpretação que a torne falsa. O conteúdo aqui é Lógica de Predicados de 1ª ordem, usando as definições semânticas de quantificadores e equivalências de implicação.

Passo 2

Aplicamos a equivalência de lógica proposicional Ato Bequiv (neg Alor B) em cada implicação dentro do quantificador:
(p(x)to p(a))equiv (neg p(x)lor p(a)), (p(x)to p(b))equiv (neg p(x)lor p(b))

Passo 3

Reescrevendo a fórmula com essas equivalências, temos:
exists xl[(neg p(x)lor p(a))wed>=(neg p(x)lor p(b))r]
Agora usamos a distributiva proposicional
(Ulor V)wed>=(Ulor W)equiv Ulor (Vwed>= W)
com U=neg p(x), V=p(a), W=p(b). Isso dá:
(neg p(x)lor p(a))wed>=(neg p(x)lor p(b)) equiv neg p(x)lorl(p(a)wed>= p(b)r)

Passo 4

Logo a fórmula vira
exists xl[neg p(x)lor(p(a)wed>= p(b))r]
Como x não aparece em p(a)wed>= p(b), podemos separar o quantificador:
(exists xneg p(x))lor(p(a)wed>= p(b))

Passo 5

Agora analisamos qualquer interpretação (domínio não vazio):
  • Se existe algum x tal que neg p(x) é verdadeiro, então exists xneg p(x) é verdadeiro e a disjunção inteira vale.
  • Senão, exists xneg p(x) é falso, o que força forall x,p(x) verdadeiro. Mas então em particular p(a) e p(b) são verdadeiros, logo p(a)wed>= p(b) é verdadeiro e a disjunção vale também.

Passo 6

Em qualquer caso, a fórmula resulta verdadeira em toda interpretação. Portanto ela é válida (touologia).

Resposta

A fórmula é válida em toda interpretação.

Exercícios relacionados