Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é válida (touologia) ou, se não for, dar uma interpretação que a torne falsa. O conteúdo aqui é Lógica de Predicados de 1ª ordem, usando as definições semânticas de quantificadores e equivalências de implicação.
Passo 2
Aplicamos a equivalência de lógica proposicional
em cada implicação dentro do quantificador:
Passo 3
Reescrevendo a fórmula com essas equivalências, temos:
Agora usamos a distributiva proposicional
com
,
,
. Isso dá:
Passo 4
Logo a fórmula vira
Como
não aparece em
, podemos separar o quantificador:
Passo 5
Agora analisamos qualquer interpretação (domínio não vazio):
- Se existe algum
tal que é verdadeiro, então é verdadeiro e a disjunção inteira vale. - Senão,
é falso, o que força verdadeiro. Mas então em particular e são verdadeiros, logo é verdadeiro e a disjunção vale também.
Passo 6
Em qualquer caso, a fórmula resulta verdadeira em toda interpretação. Portanto ela é válida (touologia).
Resposta
A fórmula é válida em toda interpretação.