Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
Passo 1
Neste exercício, temos a fórmula
. O conteúdo é lógica de predicados de primeira ordem, e vamos precisar dos conceitos de validade, modelos e interpretação de fórmulas.
Passo 2
Para mostrar que a fórmula não é válida, basta encontrar um modelo
onde ela seja falsa. Lembrando que uma fórmula é válida se for verdadeira em todo modelo.
Passo 3
Definimos um modelo
com domínio
e extensões de predicados
Agora vamos verificar o valor de verdade de cada lado da equivalência.
Passo 4
No modelo
, calculamos:
Para a subfórmula :
Para a subfórmula
- Para
, é , que vale . - Para
, é , que vale .
Logoé .
Para: -
é (pois é ). -
é (pois é ).
Então a implicação é, que vale .
Assim, os lados da equivalência valeme , respectivamente, tornando a equivalência .
Passo 5
Portanto, encontramos um contraexemplo em que a fórmula é falsa, mostrando que ela não é válida.
Resposta
A fórmula não é válida. Por exemplo, no modelo com domínio
,
e
, a equivalência assume valor falso.