Algumas das fórmulas a seguir são válidas (tautologias), outras não. Para cada fórmula, demonstre se ela é válida ou defina uma interpretação que a interprete como sendo falsa.
(exists x) p(x) p(x)

Passo 1

Estamos analisando a fórmula (exists x) p(x) p(x). O conteúdo é lógica de predicados de primeira ordem e precisamos verificar se essa fórmula é válida em todas as interpretações ou se existe um contraexemplo que a torne falsa.

Passo 2

Para um condicional A B ser falso, é preciso que A seja verdadeiro e B seja falso. Aqui A é (exists x)p(x) e B é p(x). Logo, devemos encontrar uma interpretação onde (exists x)p(x) seja verdadeiro e p(x) seja falso.

Passo 3

Considere a interpretação com domínio a,b, definindo p(a)=V e p(b)=F, e uma atribuição de variáveis que envia x para b. Avaliando cada parte:
(exists x)p(x) = V
p(x) = F
(exists x)p(x) p(x) = F

Passo 4

Portanto, nessa interpretação a fórmula é falsa, o que mostra que ela não é válida (não é uma tautologia).

Resposta

A fórmula não é válida. Um contraexemplo é tomar o domínio a,b, p(a)=V, p(b)=F e atribuir xmapsto b. Nesse modelo (exists x)p(x) fica verdadeiro e p(x) fica falso, fazendo o condicional valer F.

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