Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
a) Mostre que, se
e
, então a substituição
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear (feito em sala).
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a) Mostre que, se
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede em cada item.
- Enunciado geral: a família de equações de Bernoulli
pede (a) mostrar que, para
e
, a substituição
transforma a equação em uma equação linear; e (b–g) resolver as equações dadas aplicando esse método quando for o caso.
- As equações específicas a resolver são:
- (a) mostrar a transformação geral (sem resolver um caso numérico).
- (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
. - (f)
. (Observe que a variável independente é , mas aparece o símbolo ; isso será comentado e tratado no passo de resolução.) - (g)
.
O objetivo é: (i) em (a) deduzir a forma linear resultante pela substituição
; (ii) nos itens (b)–(g) identificar
,
,
, fazer a substituição, resolver a equação linear resultante por fator integrante, e voltar a
. A resolução começa agora.
Passo 2
Demonstração (didática) de por que
reduz a equação de Bernoulli a uma linear.
- Começo escrevendo a equação de Bernoulli:
com
e
.
- Faço a substituição sugerida:
Vou calcular
em função de
e
. Usando a regra da cadeia, se
então
Isso é só diferenciação: a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos por
.
- Agora isolo
na equação original e multiplicarei por para aparecer :
partindo de
multiplico ambos os lados por
(válido porque
e estamos considerando intervalos onde
quando necessário):
- Pelo cálculo anterior,
e . Substituindo:
- Conclusão: a substituição
transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem em :
Isto era o que se pedia em (a). Agora, sempre que tivermos um problema do tipo Bernoulli com
, aplicamos exatamente esse procedimento: (i) calcular
, (ii) montar a linear acima, (iii) resolver por fator integrante, (iv) voltar a
por
.
Passo 3
Resolver (b)
.
- Identificação: aqui
, , . Portanto . - Substituição:
. - Calculo da equação para
usando a fórmula do passo 2:
ou substituindo números:
- Esta é uma equação linear da forma
com , . - Fator integrante:
(assumindo ). - Multiplico a equação por
:
- Integro ambos os lados:
onde
é constante arbitrária.
- Isolo
:
- Volto para
usando :
- Podemos escrever de forma um pouco mais limpa, por exemplo
Passo 4
Resolver (c)
.
- Identificação:
, , . Portanto . - Substituição:
. - Equação para
(pela fórmula):
substituindo:
- Esta é linear com
, . Fator integrante:
- Multiplicando e reorganizando:
- Integro:
- Isolo
:
- Volto para
: . Assim, a solução geral (permitindo sinal) é
(onde
é constante arbitrária; a presença do
cobre as duas raízes quadradas possíveis quando o denominador for positivo.)
Passo 5
Resolver (d)
.
- Primeiro coloco na forma padrão
:
- Identificação:
, , . Então . - Substituição:
. - Equação para
:
logo
- Fator integrante:
- Multiplico:
- Integro:
- Isolo
:
- Volto para
(lembre ):
Passo 6
Resolver (e)
.
- Identificação:
, , . Então . - Substituição:
. - A fórmula dá a equação linear para
:
- Fator integrante:
(Para praticidade de cálculo e assume-se
ou intervalo onde
tem sinal fixo; o procedimento é o mesmo tomando
com sinal adequado.)
- Multiplicando:
- Integro (faço a substituição
):
- Isolo
:
- Volto para
com :
(Essa é a solução geral, válida nos intervalos onde
não muda de sinal.)
Passo 7
Trato (f)
.
- Observação sobre ambiguidade: aqui a variável independente escrita é
, mas a equação contém também . O enunciado original trouxe essa expressão assim; sem mais contexto pode-se interpretar como um parâmetro constante em relação a . Não foi pedido usar Bernoulli neste item e, de fato, não há nenhum termo em multiplicado por algo (i.e. não é do tipo ou ). Por isso a equação é simplesmente uma equação ordinária de primeira ordem em de forma
onde
será tratado como constante parâmetro.
- Integro diretamente em relação a
:
- Calculo as integrais separadamente:
- Logo
onde
é constante arbitrária e
é tratado como parâmetro constante. Se o enunciado pretendia algo diferente (por exemplo, se a variável dependente era
e houve um erro de notação), seria preciso corrigir a forma da equação. Com a leitura literal dada, esta é a solução.
Passo 8
Resolver (g)
.
- Identificação:
, , . Então . - Substituição:
. - Aplicando a fórmula:
fica
- Fator integrante:
- Multiplico e reorganizo:
- Integro:
- Isolo
:
- Volto para
lembrando :
onde a raiz cúbica é tomada como função real (caso a expressão à direita assuma sinais diversos, a raiz cúbica real existe).
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
(d)
(e)
(f)
\quad(assumindo
como parâmetro constante na equação dada).
(g)