Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n}
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
a) Mostre que, se \mathrm{n} \neq 0 e \mathrm{n} \neq 1, então a substituição v=y^{1-n} reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear (feito em sala).
b) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^{2} y^{2}
c) \frac{d y}{d x}-y=e^{2 x} y^{3}
d) \frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-x^{2} y^{2}
e) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x-2}=5(x-2) y^{1 / 2}
f) \frac{d y}{d t}+t x^{3}+\frac{x}{t}=0
g) \frac{d y}{d x}+y=e^{x} y^{-2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede em cada item.
  • Enunciado geral: a família de equações de Bernoulli
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}
pede (a) mostrar que, para n\neq0 e n\neq1, a substituição v=y^{1-n} transforma a equação em uma equação linear; e (b–g) resolver as equações dadas aplicando esse método quando for o caso.
  • As equações específicas a resolver são:
    • (a) mostrar a transformação geral (sem resolver um caso numérico).
    • (b) \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^{2}y^{2}.
    • (c) \displaystyle \frac{dy}{dx}-y=e^{2x}y^{3}.
    • (d) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}-x^{2}y^{2}.
    • (e) \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=5(x-2)y^{1/2}.
    • (f) \displaystyle \frac{dy}{dt}+t x^{3}+\frac{x}{t}=0. (Observe que a variável independente é t, mas aparece o símbolo x; isso será comentado e tratado no passo de resolução.)
    • (g) \displaystyle \frac{dy}{dx}+y=e^{x}y^{-2}.
O objetivo é: (i) em (a) deduzir a forma linear resultante pela substituição v=y^{1-n}; (ii) nos itens (b)–(g) identificar n, P(x), Q(x), fazer a substituição, resolver a equação linear resultante por fator integrante, e voltar a y. A resolução começa agora.

Passo 2

Demonstração (didática) de por que v=y^{1-n} reduz a equação de Bernoulli a uma linear.
  • Começo escrevendo a equação de Bernoulli:
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},
com n\neq0 e n\neq1.
  • Faço a substituição sugerida:
v = y^{1-n}.
Vou calcular \dfrac{dv}{dx} em função de y e \dfrac{dy}{dx}. Usando a regra da cadeia, se v(y)=y^{1-n} então
\frac{dv}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}.
Isso é só diferenciação: a derivada de y^{1-n} em relação a y é (1-n)y^{-n}, e multiplicamos por dy/dx.
  • Agora isolo \dfrac{dy}{dx} na equação original e multiplicarei por (1-n)y^{-n} para aparecer \dfrac{dv}{dx}:
    partindo de
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},
multiplico ambos os lados por (1-n)y^{-n} (válido porque n\neq1 e estamos considerando intervalos onde y\neq0 quando necessário):
(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x).
  • Pelo cálculo anterior, (1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dv}{dx} e y^{1-n}=v. Substituindo:
\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)\,v=(1-n)Q(x).
  • Conclusão: a substituição \displaystyle v=y^{1-n} transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem em v:
\boxed{\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)\,v=(1-n)Q(x).}
Isto era o que se pedia em (a). Agora, sempre que tivermos um problema do tipo Bernoulli com n\neq0,1, aplicamos exatamente esse procedimento: (i) calcular v=y^{1-n}, (ii) montar a linear acima, (iii) resolver por fator integrante, (iv) voltar a y por y=v^{1/(1-n)}.

Passo 3

Resolver (b) \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^{2}y^{2}.
  • Identificação: aqui P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2}, n=2. Portanto 1-n=-1.
  • Substituição: v=y^{1-n}=y^{-1}=\dfrac{1}{y}.
  • Calculo da equação para v usando a fórmula do passo 2:
\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)
ou substituindo números:
\frac{dv}{dx}-\frac{1}{x}v=-x^{2}.
  • Esta é uma equação linear da forma \dfrac{dv}{dx}+a(x)v=b(x) com a(x)=-\dfrac{1}{x}, b(x)=-x^{2}.
  • Fator integrante: \mu(x)=\exp\!\left(\int a(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=x^{-1} (assumindo x\neq0).
  • Multiplico a equação por \mu:
\frac{d}{dx}\big(\mu v\big)=\mu b(x)\quad\Rightarrow\quad\frac{d}{dx}\!\left(\frac{v}{x}\right) = -x.
  • Integro ambos os lados:
\frac{v}{x} = \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é constante arbitrária.
  • Isolo v:
v = x\Big(-\frac{x^{2}}{2}+C\Big) = -\frac{x^{3}}{2}+Cx.
  • Volto para y usando v=1/y:
\frac{1}{y} = -\frac{x^{3}}{2}+Cx \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{Cx-\dfrac{x^{3}}{2}}.
  • Podemos escrever de forma um pouco mais limpa, por exemplo
y(x)=\frac{1}{x\left(C-\dfrac{x^{2}}{2}\right)}.

Passo 4

Resolver (c) \displaystyle \frac{dy}{dx}-y=e^{2x}y^{3}.
  • Identificação: P(x)=-1, Q(x)=e^{2x}, n=3. Portanto 1-n=-2.
  • Substituição: v=y^{1-n}=y^{-2}.
  • Equação para v (pela fórmula):
\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)
substituindo:
\frac{dv}{dx}+2v = -2e^{2x}.
  • Esta é linear com a(x)=2, b(x)=-2e^{2x}. Fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
  • Multiplicando e reorganizando:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}v\big)=e^{2x}\cdot(-2e^{2x})=-2e^{4x}.
  • Integro:
e^{2x}v=\int -2e^{4x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{4x}+C.
  • Isolo v:
v = -\frac{1}{2}e^{2x}+Ce^{-2x}.
  • Volto para y: v=y^{-2}\Rightarrow y^{2}=\dfrac{1}{v}. Assim, a solução geral (permitindo sinal) é
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{-\tfrac{1}{2}e^{2x}+Ce^{-2x}}}.
(onde C é constante arbitrária; a presença do \pm cobre as duas raízes quadradas possíveis quando o denominador for positivo.)

Passo 5

Resolver (d) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}-x^{2}y^{2}.
  • Primeiro coloco na forma padrão dy/dx + P(x)y = Q(x)y^{n}:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y = -x^{2}y^{2}.
  • Identificação: P(x)=-\dfrac{2}{x}, Q(x)=-x^{2}, n=2. Então 1-n=-1.
  • Substituição: v=y^{-1}.
  • Equação para v:
\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)
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\frac{dv}{dx}+\frac{2}{x}v = x^{2}.
  • Fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(2\ln|x|)=x^{2}.
  • Multiplico:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}v\big)=x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}.
  • Integro:
x^{2}v = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}+C.
  • Isolo v:
v=\frac{x^{3}}{5}+Cx^{-2}.
  • Volto para y (lembre v=1/y):
\frac{1}{y}=\frac{x^{3}}{5}+Cx^{-2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{\dfrac{x^{3}}{5}+Cx^{-2}}=\frac{5x^{2}}{x^{5}+5C}.

Passo 6

Resolver (e) \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x-2}=5(x-2)y^{1/2}.
  • Identificação: P(x)=\dfrac{1}{x-2}, Q(x)=5(x-2), n=\tfrac{1}{2}. Então 1-n=\tfrac{1}{2}.
  • Substituição: v=y^{1-n}=y^{1/2}=\sqrt{y}.
  • A fórmula dá a equação linear para v:
\frac{dv}{dx}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2}\,v=\frac{1}{2}\cdot 5(x-2)=\frac{5}{2}(x-2).
  • Fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{2(x-2)}\,dx\right)=\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln|x-2|\right)=|x-2|^{1/2}.
(Para praticidade de cálculo e assume-se x>2 ou intervalo onde x-2 tem sinal fixo; o procedimento é o mesmo tomando (x-2)^{1/2} com sinal adequado.)
  • Multiplicando:
\frac{d}{dx}\big((x-2)^{1/2}v\big)=(x-2)^{1/2}\cdot\frac{5}{2}(x-2)=\frac{5}{2}(x-2)^{3/2}.
  • Integro (faço a substituição u=x-2):
(x-2)^{1/2}v = \int \frac{5}{2}u^{3/2}\,du = u^{5/2}+C = (x-2)^{5/2}+C.
  • Isolo v:
v = (x-2)^{2} + C(x-2)^{-1/2}.
  • Volto para y com v=\sqrt{y}\Rightarrow y=v^{2}:
y(x)=\big((x-2)^{2} + C(x-2)^{-1/2}\big)^{2}.
(Essa é a solução geral, válida nos intervalos onde x-2 não muda de sinal.)

Passo 7

Trato (f) \displaystyle \frac{dy}{dt}+t x^{3}+\frac{x}{t}=0.
  • Observação sobre ambiguidade: aqui a variável independente escrita é t, mas a equação contém também x. O enunciado original trouxe essa expressão assim; sem mais contexto pode-se interpretar x como um parâmetro constante em relação a t. Não foi pedido usar Bernoulli neste item e, de fato, não há nenhum termo em y multiplicado por algo (i.e. não é do tipo P(t)y ou Q(t)y^{n}). Por isso a equação é simplesmente uma equação ordinária de primeira ordem em t de forma
\frac{dy}{dt} = -\Big(t x^{3}+\frac{x}{t}\Big),
onde x será tratado como constante parâmetro.
  • Integro diretamente em relação a t:
y(t)= -\int\Big(t x^{3}+\frac{x}{t}\Big)\,dt + C.
  • Calculo as integrais separadamente:
\int t x^{3}\,dt = x^{3}\cdot\frac{t^{2}}{2},\qquad \int \frac{x}{t}\,dt = x\ln|t|.
  • Logo
y(t) = -\frac{x^{3}t^{2}}{2} - x\ln|t| + C,
onde C é constante arbitrária e x é tratado como parâmetro constante. Se o enunciado pretendia algo diferente (por exemplo, se a variável dependente era x e houve um erro de notação), seria preciso corrigir a forma da equação. Com a leitura literal dada, esta é a solução.

Passo 8

Resolver (g) \displaystyle \frac{dy}{dx}+y=e^{x}y^{-2}.
  • Identificação: P(x)=1, Q(x)=e^{x}, n=-2. Então 1-n=1-(-2)=3.
  • Substituição: v=y^{1-n}=y^{3}.
  • Aplicando a fórmula:
\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)\,v=(1-n)Q(x)
fica
\frac{dv}{dx}+3v = 3e^{x}.
  • Fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
  • Multiplico e reorganizo:
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}v\big)=3e^{4x}.
  • Integro:
e^{3x}v=\int 3e^{4x}\,dx = \frac{3}{4}e^{4x}+C.
  • Isolo v:
v = \frac{3}{4}e^{x} + Ce^{-3x}.
  • Volto para y lembrando v=y^{3}:
y^{3}=\frac{3}{4}e^{x} + Ce^{-3x} \quad\Rightarrow\quad y(x)=\bigg(\frac{3}{4}e^{x} + Ce^{-3x}\bigg)^{1/3},
onde a raiz cúbica é tomada como função real (caso a expressão à direita assuma sinais diversos, a raiz cúbica real existe).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)\,v=(1-n)Q(x).
(b) \displaystyle y(x)=\frac{1}{Cx-\dfrac{x^{3}}{2}}=\frac{1}{x\!\left(C-\dfrac{x^{2}}{2}\right)}.
(c) \displaystyle y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{-\tfrac{1}{2}e^{2x}+Ce^{-2x}}}.
(d) \displaystyle y(x)=\frac{5x^{2}}{x^{5}+5C}.
(e) \displaystyle y(x)=\big((x-2)^{2}+C(x-2)^{-1/2}\big)^{2}.
(f) \displaystyle y(t)=-\frac{x^{3}t^{2}}{2}-x\ln|t|+C \quad(assumindo x como parâmetro constante na equação dada).
(g) \displaystyle y(x)=\bigg(\frac{3}{4}e^{x}+Ce^{-3x}\bigg)^{1/3}.

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