Use os métodos discutidos em Equações na forma y^{\prime}=G(a x+b y) e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=(-x+y+2)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=(-x+y+2)^{2}.
Informações que o enunciado dá e o que é pedido:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e o lado direito é o quadrado de uma combinação linear de x e y.
  • Pede-se a solução geral y(x) (família de integrais) e quaisquer soluções singulares que apareçam.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então encontraremos a família geral com constante arbitrária e destacaremos soluções especiais.

Passo 2

Motivação e substituição: como o lado direito depende apenas de uma combinação linear de x e y, é clássico fazer a substituição
u = -x + y + 2.
Aqui u é uma nova função de x. Vamos calcular du/dx em termos de dy/dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtemos:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(-x) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(2) = -1 + \frac{dy}{dx} + 0.
Substituindo \dfrac{dy}{dx} = u^{2} (pela equação dada), temos
\frac{du}{dx} = -1 + u^{2}.
Portanto a equação para u(x) é
\frac{du}{dx}=u^{2}-1.

Passo 3

Separação de variáveis: a equação \dfrac{du}{dx}=u^{2}-1 é separável (podemos agrupar u de um lado e x do outro). Escrevemos
\frac{du}{u^{2}-1}=dx,
observando já que, ao dividir por u^{2}-1, estamos temporariamente excluindo os pontos onde u^{2}-1=0 (ou seja u=\pm1); essas possibilidades serão tratadas separadamente como soluções singulares. Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

Integração por frações parciais: vamos integrar \displaystyle\int \frac{du}{u^{2}-1}. Note que
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right).
Logo
\int \frac{du}{u^{2}-1}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)du =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C,
onde C é constante de integração. Igualando à integral do lado direito, \int dx = x + C, obtemos
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| = x + C.

Passo 5

Isolando u: multiplicando por 2 e exponenciando,
\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| = 2x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{u-1}{u+1}\right| = e^{C_1}e^{2x}.
Defina a constante arbitrária K=\pm e^{C_1} (pode ser qualquer constante real não nula). Assim
\frac{u-1}{u+1} = K e^{2x}.
Agora resolvemos algebricamente para u. Multiplicando ambos os lados por u+1:
u-1 = K e^{2x}(u+1).
Agrupando os termos com u:
u(1 - K e^{2x}) = 1 + K e^{2x}.
Desde que 1 - K e^{2x}\neq 0, obtemos
u(x) = \frac{1 + K e^{2x}}{1 - K e^{2x}},
onde K é constante arbitrária real. (Essa forma inclui, como limites, os casos u\to\pm1 para certos limites de K; veremos as soluções singulares explicitamente abaixo.)

Passo 6

Voltando para y: lembrando que u=-x+y+2, isolamos y:
y = x -2 + u.
Substituindo a expressão de u,
y(x) = x -2 + \frac{1 + K e^{2x}}{1 - K e^{2x}},
com K constante arbitrária e com a restrição de domínio 1 - K e^{2x}\neq 0 (ou seja, evitar pontos onde a expressão explode). Uma alternativa equivalente e mais elegante é escrever u(x)=\coth(x+C), porque da integração temos \operatorname{arccoth}(u)=x+C, mas a forma racional acima é suficiente para uso em prova.

Passo 7

Soluções singulares e observações finais:
  • Ao separar variáveis dividimos por u^{2}-1, portanto as soluções com u=\pm1 não aparecem diretamente na integração; porém elas satisfazem a equação original e por isso são soluções válidas (são soluções constantes para u).
  • Se u=1 então -x+y+2=1 e então y=x-1. Verificação: y'=1 e (-x+y+2)^{2}=1^{2}=1, ok.
  • Se u=-1 então -x+y+2=-1 e então y=x-3. Verificação: y'=1 e RHS =(-1)^{2}=1, ok.
  • Portanto as soluções singulares (linhas) são y(x)=x-1 e y(x)=x-3.
  • A solução geral obtida com constante K engloba as demais integrais (com as devidas restrições de domínio).

Resposta

y(x)=x-2+\frac{1+K e^{2x}}{1-K e^{2x}},\qquad K\in\mathbb{R},\\\ 1-K e^{2x}\neq0
y(x)=x-1
y(x)=x-3

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