Use os métodos discutidos em Equações na forma y^{\prime}=G(a x+b y) e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais: \frac{d y}{d x}=(-x+y+2)^{2}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=(-x+y+2)^{2}.
Informações que o enunciado dá e o que é pedido:
A equação diferencial é de primeira ordem e o lado direito é o quadrado de uma combinação linear de x e y.
Pede-se a solução geral y(x) (família de integrais) e quaisquer soluções singulares que apareçam.
Não há condições iniciais fornecidas, então encontraremos a família geral com constante arbitrária e destacaremos soluções especiais.
Passo 2
Motivação e substituição: como o lado direito depende apenas de uma combinação linear de x e y, é clássico fazer a substituição
u = -x + y + 2.
Aqui u é uma nova função de x. Vamos calcular du/dx em termos de dy/dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtemos:
Separação de variáveis: a equação \dfrac{du}{dx}=u^{2}-1 é separável (podemos agrupar u de um lado e x do outro). Escrevemos
\frac{du}{u^{2}-1}=dx,
observando já que, ao dividir por u^{2}-1, estamos temporariamente excluindo os pontos onde u^{2}-1=0 (ou seja u=\pm1); essas possibilidades serão tratadas separadamente como soluções singulares. Agora integramos ambos os lados.
Passo 4
Integração por frações parciais: vamos integrar \displaystyle\int \frac{du}{u^{2}-1}. Note que
Defina a constante arbitrária K=\pm e^{C_1} (pode ser qualquer constante real não nula). Assim
\frac{u-1}{u+1} = K e^{2x}.
Agora resolvemos algebricamente para u. Multiplicando ambos os lados por u+1:
u-1 = K e^{2x}(u+1).
Agrupando os termos com u:
u(1 - K e^{2x}) = 1 + K e^{2x}.
Desde que 1 - K e^{2x}\neq 0, obtemos
u(x) = \frac{1 + K e^{2x}}{1 - K e^{2x}},
onde K é constante arbitrária real. (Essa forma inclui, como limites, os casos u\to\pm1 para certos limites de K; veremos as soluções singulares explicitamente abaixo.)
Passo 6
Voltando para y: lembrando que u=-x+y+2, isolamos y:
y = x -2 + u.
Substituindo a expressão de u,
y(x) = x -2 + \frac{1 + K e^{2x}}{1 - K e^{2x}},
com K constante arbitrária e com a restrição de domínio 1 - K e^{2x}\neq 0 (ou seja, evitar pontos onde a expressão explode). Uma alternativa equivalente e mais elegante é escrever u(x)=\coth(x+C), porque da integração temos \operatorname{arccoth}(u)=x+C, mas a forma racional acima é suficiente para uso em prova.
Passo 7
Soluções singulares e observações finais:
Ao separar variáveis dividimos por u^{2}-1, portanto as soluções com u=\pm1 não aparecem diretamente na integração; porém elas satisfazem a equação original e por isso são soluções válidas (são soluções constantes para u).
Se u=1 então -x+y+2=1 e então y=x-1. Verificação: y'=1 e (-x+y+2)^{2}=1^{2}=1, ok.
Se u=-1 então -x+y+2=-1 e então y=x-3. Verificação: y'=1 e RHS =(-1)^{2}=1, ok.
Portanto as soluções singulares (linhas) são y(x)=x-1 e y(x)=x-3.
A solução geral obtida com constante K engloba as demais integrais (com as devidas restrições de domínio).