Calcule:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede-se calcular
. - Observações imediatas: quando
temos , então a base e o expoente . Isso é uma forma indeterminada do tipo . - Objetivo: resolver essa indeterminação e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Estratégia padrão para limites do tipo
: tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e então aplicar a exponencial no final. Explico por quê: a função exponencial é contínua e estritamente crescente, logo se o limite do logaritmo existe e é
, o limite original será
.
Se existir o limite alvo, chame-o de
Tomando logaritmo natural:
Agora vamos calcular
.
Passo 3
Para tornar o cálculo mais direto, faça a substituição
. Quando
temos
. Além disso
. Substituindo na expressão do logaritmo:
Isto é
Portanto basta calcular
.
Passo 4
Agora vamos determinar
. Vou mostrar um argumento elementar e rigoroso (sem usar expansão em série nem derivada explícita).
Considere a função
para
com
. Para todo
nesse intervalo vale
Integrando essa desigualdade em
de
a
obtemos
As integrais são simples; note que
. Então
Dividindo tudo por
dá
Ao fazer
ambos os extremos tendem a
. Pelo Teorema do Sanduíche (confronto),
Passo 5
Voltando ao passo anterior:
Portanto
. Conclusão: o limite existe e é
.
Passo 6
Comentário rápido e dica de prova: esse cálculo é um caso especial da fórmula geral
que se demonstra da mesma maneira (substituindo
e usando
). Boa notícia: decorar essa regra resolve muitos limites do tipo
.