Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.
  • Observações imediatas: quando x\to+\infty temos \dfrac{2}{x}\to0, então a base \left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to1 e o expoente x\to+\infty. Isso é uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.
  • Objetivo: resolver essa indeterminação e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Estratégia padrão para limites do tipo 1^{\infty}: tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e então aplicar a exponencial no final. Explico por quê: a função exponencial é contínua e estritamente crescente, logo se o limite do logaritmo existe e é L_{\ln}, o limite original será e^{L_{\ln}}.
Se existir o limite alvo, chame-o de
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.
Tomando logaritmo natural:
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Agora vamos calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).

Passo 3

Para tornar o cálculo mais direto, faça a substituição \displaystyle u=\frac{2}{x}. Quando x\to+\infty temos u\to0^{+}. Além disso x=\dfrac{2}{u}. Substituindo na expressão do logaritmo:
\ln L=\lim_{u\to0^{+}}\frac{2}{u}\ln(1+u).
Isto é
\ln L=2\cdot\lim_{u\to0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto basta calcular \displaystyle \lim_{u\to0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Agora vamos determinar \displaystyle \lim_{u\to0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}. Vou mostrar um argumento elementar e rigoroso (sem usar expansão em série nem derivada explícita).
Considere a função \dfrac{1}{1+t} para t\in[0,u] com u>0. Para todo t nesse intervalo vale
\frac{1}{1+u}\le\frac{1}{1+t}\le1.
Integrando essa desigualdade em t de 0 a u obtemos
\int_{0}^{u}\frac{1}{1+u}\,dt \le \int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt \le \int_{0}^{u}1\,dt.
As integrais são simples; note que \displaystyle \int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+u). Então
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Dividindo tudo por u>0
\frac{1}{1+u}\le \frac{\ln(1+u)}{u}\le 1.
Ao fazer u\to0^{+} ambos os extremos tendem a 1. Pelo Teorema do Sanduíche (confronto),
\lim_{u\to0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 5

Voltando ao passo anterior:
\ln L = 2\cdot\lim_{u\to0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}=2\cdot 1=2.
Portanto L=e^{\ln L}=e^{2}. Conclusão: o limite existe e é e^{2}.

Passo 6

Comentário rápido e dica de prova: esse cálculo é um caso especial da fórmula geral
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a},
que se demonstra da mesma maneira (substituindo u=a/x e usando \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1). Boa notícia: decorar essa regra resolve muitos limites do tipo 1^{\infty}.

Resposta

e^{2}

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