Em alguns aceleradores de partículas, prótons são acelerados até uma energia total que e 200 vezes maior que sua energia em repouso.
A) Qual e a velocidade desses prótons em termos de
? O resultado deve ser arredondado na sexta casa decimal.
B) Se a energia em repouso de um próton é 938 MeV , qual e a sua energia cinética em MeV?
A) Qual e a velocidade desses prótons em termos de
B) Se a energia em repouso de um próton é 938 MeV , qual e a sua energia cinética em MeV?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
A) Determinar a velocidade dos prótons em termos de (onde
), sabendo que a energia total é 200 vezes a energia de repouso. O resultado deve ser arredondado na sexta casa decimal.
B) Dado que a energia de repouso de um próton é , calcular a energia cinética em
.
A) Determinar a velocidade dos prótons em termos de
B) Dado que a energia de repouso de um próton é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Energia total
é 200 vezes a energia de repouso , ou seja . - Energia de repouso do próton:
Passo 2
Relembrando as fórmulas relativísticas básicas (explicando cada símbolo):
- Definição de
: , onde é a velocidade da partícula e é a velocidade da luz. é adimensional e varia entre e . - Fator de Lorentz
: . Aqui é também adimensional; quando aproxima-se de , cresce muito. - Energia total relativística:
, onde é a energia de repouso (equivalente a ). Assim, se você conhece pode obter e vice‑versa.
Vou usar essas relações para passar dos dados do enunciado para
e para a energia cinética.
Passo 3
Usando a relação entre energia total e energia de repouso:
. O enunciado diz que
. Portanto
Isto significa que o fator de Lorentz vale
.
Passo 4
Isolando
na definição de
:
Começamos de
Começamos de
Invertendo ambos os lados:
Elevando ao quadrado:
Portanto
e finalmente
Essa fórmula dá
diretamente a partir de
.
Passo 5
Agora substituímos
na fórmula:
Calculemos passo a passo:
. Então
Agora a raiz quadrada:
Para números muito próximos de 1 podemos usar a expansão ou calcular diretamente; a aproximação pelo desenvolvimento em série dá
com correções de ordem
que são desprezíveis para o pedido de seis casas decimais. Arredondando a sexta casa decimal (olhando a sétima casa que é
), obtemos
Passo 6
Agora a energia cinética. A definição de energia cinética relativística
(ou
) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
Já sabemos
e
. Portanto
Calculemos:
, então
. Logo
Passo 7
Resumo e checagem rápida:
grande (200) implica
muito próxima de 1, e a energia cinética é aproximadamente
vezes a energia de repouso. Os números batem com essa intuição: velocidade quase
e energia cinética muito maior que a energia de repouso.
Resposta
A)
B)
B)