Em alguns aceleradores de partículas, prótons são acelerados até uma energia total que e 200 vezes maior que sua energia em repouso.
A) Qual e a velocidade desses prótons em termos de \beta ? O resultado deve ser arredondado na sexta casa decimal.
B) Se a energia em repouso de um próton é 938 MeV , qual e a sua energia cinética em MeV?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
A) Determinar a velocidade dos prótons em termos de \beta (onde \beta=v/c), sabendo que a energia total é 200 vezes a energia de repouso. O resultado deve ser arredondado na sexta casa decimal.
B) Dado que a energia de repouso de um próton é \,938\\ \mathrm{MeV}, calcular a energia cinética em \mathrm{MeV}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Energia total E é 200 vezes a energia de repouso E_0, ou seja \;E = 200\,E_0.
  • Energia de repouso do próton: \;E_0 = 938\\ \mathrm{MeV}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas relativísticas básicas (explicando cada símbolo):
  • Definição de \beta: \beta = \dfrac{v}{c}, onde v é a velocidade da partícula e c é a velocidade da luz. \beta é adimensional e varia entre 0 e 1.
  • Fator de Lorentz \gamma: \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. Aqui \gamma é também adimensional; quando \beta aproxima-se de 1, \gamma cresce muito.
  • Energia total relativística: \displaystyle E = \gamma E_0, onde E_0 é a energia de repouso (equivalente a m c^2). Assim, se você conhece \gamma pode obter \beta e vice‑versa.
Vou usar essas relações para passar dos dados do enunciado para \beta e para a energia cinética.

Passo 3

Usando a relação entre energia total e energia de repouso: \;E = \gamma E_0. O enunciado diz que E = 200\,E_0. Portanto
\gamma = 200.
Isto significa que o fator de Lorentz vale \,200.

Passo 4

Isolando \beta na definição de \gamma:
Começamos de
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
Invertendo ambos os lados:
\sqrt{1-\beta^2} = \frac{1}{\gamma}.
Elevando ao quadrado:
1-\beta^2 = \frac{1}{\gamma^2}.
Portanto
\beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2},
e finalmente
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}.
Essa fórmula dá \beta diretamente a partir de \gamma.

Passo 5

Agora substituímos \gamma = 200 na fórmula:
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{200^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{40000}}.
Calculemos passo a passo: \displaystyle \frac{1}{40000} = 0{,}000025. Então
1 - \frac{1}{40000} = 0{,}999975.
Agora a raiz quadrada:
\beta = \sqrt{0{,}999975}.
Para números muito próximos de 1 podemos usar a expansão ou calcular diretamente; a aproximação pelo desenvolvimento em série dá
\beta \approx 1 - \frac{1}{2}\cdot 0{,}000025 = 1 - 0{,}0000125 = 0{,}9999875,
com correções de ordem 10^{-10} que são desprezíveis para o pedido de seis casas decimais. Arredondando a sexta casa decimal (olhando a sétima casa que é 5), obtemos
\beta = 0{,}999988.

Passo 6

Agora a energia cinética. A definição de energia cinética relativística K (ou T) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
K = E - E_0 = (\gamma - 1)\,E_0.
Já sabemos \gamma = 200 e \,E_0 = 938\\ \mathrm{MeV}. Portanto
K = (200 - 1)\times 938\\ \mathrm{MeV} = 199 \times 938\\ \mathrm{MeV}.
Calculemos: \;938\times 200 = 187600, então \;938\times 199 = 187600 - 938 = 186662. Logo
K = 186662\\ \mathrm{MeV}.

Passo 7

Resumo e checagem rápida: \gamma grande (200) implica \beta muito próxima de 1, e a energia cinética é aproximadamente (\gamma-1) vezes a energia de repouso. Os números batem com essa intuição: velocidade quase c e energia cinética muito maior que a energia de repouso.

Resposta

A) \beta = 0{,}999988
B) K = 186662\\ \mathrm{MeV}

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