Um motociclista movendo-se com uma velocidade de 0,8 \mathrm{c} passa por um observador parado na calçada.
Para o motociclista, o feixe de luz que sai do farol tem velocidade c. Qual a velocidade deste feixe medida pelo observador?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a velocidade do feixe de luz medida pelo observador em repouso na calçada?
Informações dadas:
  • A velocidade do motociclista em relação ao observador é v=0{,}8c.
  • No referencial do motociclista, o feixe de luz sai do farol com velocidade u'=c.
    Pergunta explícita: determinar a velocidade u do feixe medida pelo observador na calçada.

Passo 2

Para transformar velocidades entre referenciais relacionados por movimento relativo constante usamos a transformação relativística de velocidades. Vou derivar a fórmula de forma simples usando as transformações de Lorentz para deslocamentos e tempos (isso é suficiente e é a forma padrão que cai em prova).
Seja um evento que descreve a posição da frente do feixe: no referencial do motociclista (referencial primado) o deslocamento em um pequeno intervalo de tempo é \Delta x' em tempo \Delta t'. No referencial da calçada (não primado) esses incrementos estão relacionados pelas transformações de Lorentz:
\Delta x = \gamma\bigl(\Delta x' + v\,\Delta t'\bigr)
\Delta t = \gamma\bigl(\Delta t' + \tfrac{v}{c^{2}}\,\Delta x'\bigr)
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando as variáveis: \Delta x' e \Delta t' são deslocamento e intervalo de tempo medidos no referencial do motociclista; \Delta x e \Delta t são os mesmos observados pela calçada; v é a velocidade do motociclista em relação à calçada; c é a velocidade da luz.
A velocidade do feixe no referencial da calçada é
u=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}.
Substituindo as expressões acima:
u=\dfrac{\gamma(\Delta x' + v\,\Delta t')}{\gamma(\Delta t' + \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x')} .
O fator \gamma cancela, ficando
u=\dfrac{\Delta x' + v\,\Delta t'}{\Delta t' + \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x'}.
Agora note que \dfrac{\Delta x'}{\Delta t'} é justamente a velocidade do feixe no referencial do motociclista, ou seja u'=\dfrac{\Delta x'}{\Delta t'}. Substituindo \Delta x' = u'\Delta t' obtemos a fórmula usual de adição relativística de velocidades:
u=\dfrac{u' + v}{1 + \dfrac{u' v}{c^{2}}}.
Aqui u' é a velocidade medida no referencial primado (motociclista) e u é a velocidade no referencial não primado (calçada). Essa fórmula é essencial: ela garante que velocidades se combinem de forma compatível com a invariância da luz.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso. Temos u'=c e v=0{,}8c. Substituindo em
u=\dfrac{u' + v}{1 + \dfrac{u' v}{c^{2}}}
vem
u=\dfrac{c + 0{,}8c}{1 + \dfrac{c\cdot 0{,}8c}{c^{2}}}.
Simplificando numerador e denominador:
u=\dfrac{1{,}8\,c}{1 + 0{,}8}=\dfrac{1{,}8\,c}{1{,}8}=c.
Note que o 1{,}8 se cancelou exatamente, mostrando que o observador mede a mesma velocidade c.

Passo 4

Interpretação física (curtinha e útil para prova): a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores inerciais; mesmo que a fonte ande a 0{,}8c a luz emitida ainda é vista com velocidade c. A fórmula de adição relativística foi necessária para obter esse resultado de forma consistente com a relatividade restrita.

Resposta

c

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