Um motociclista movendo-se com uma velocidade de
passa por um observador parado na calçada.
Para o motociclista, o feixe de luz que sai do farol tem velocidade c. Qual a velocidade deste feixe medida pelo observador?
Para o motociclista, o feixe de luz que sai do farol tem velocidade c. Qual a velocidade deste feixe medida pelo observador?
Passo 1
O enunciado pede: qual é a velocidade do feixe de luz medida pelo observador em repouso na calçada?
Informações dadas:
Informações dadas:
- A velocidade do motociclista em relação ao observador é
. - No referencial do motociclista, o feixe de luz sai do farol com velocidade
.
Pergunta explícita: determinar a velocidadedo feixe medida pelo observador na calçada.
Passo 2
Para transformar velocidades entre referenciais relacionados por movimento relativo constante usamos a transformação relativística de velocidades. Vou derivar a fórmula de forma simples usando as transformações de Lorentz para deslocamentos e tempos (isso é suficiente e é a forma padrão que cai em prova).
Seja um evento que descreve a posição da frente do feixe: no referencial do motociclista (referencial primado) o deslocamento em um pequeno intervalo de tempo é
em tempo
. No referencial da calçada (não primado) esses incrementos estão relacionados pelas transformações de Lorentz:
onde
é o fator de Lorentz definido por
Explicando as variáveis:
e
são deslocamento e intervalo de tempo medidos no referencial do motociclista;
e
são os mesmos observados pela calçada;
é a velocidade do motociclista em relação à calçada;
é a velocidade da luz.
A velocidade do feixe no referencial da calçada é
Substituindo as expressões acima:
O fator
cancela, ficando
Agora note que
é justamente a velocidade do feixe no referencial do motociclista, ou seja
. Substituindo
obtemos a fórmula usual de adição relativística de velocidades:
Aqui
é a velocidade medida no referencial primado (motociclista) e
é a velocidade no referencial não primado (calçada). Essa fórmula é essencial: ela garante que velocidades se combinem de forma compatível com a invariância da luz.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso. Temos
e
. Substituindo em
vem
Simplificando numerador e denominador:
Note que o
se cancelou exatamente, mostrando que o observador mede a mesma velocidade
.
Passo 4
Interpretação física (curtinha e útil para prova): a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores inerciais; mesmo que a fonte ande a
a luz emitida ainda é vista com velocidade
. A fórmula de adição relativística foi necessária para obter esse resultado de forma consistente com a relatividade restrita.