Uma estrela está situada a 16 anos-luz da terra. Um foguete sai em direção á estrela a uma velocidade
, que resulta em
.
(a) Para um ocupante do foguete, qual a duração da viagem?
(b) Quando o foguete chega a estrela, ele emite um sinal luminoso direcionado a Terra. Para um observador na Terra, quanto tempo transcorre entre a partida do foguete e o recebimento do sinal?
(c) Na partida do foguete, um cronômetro é acionado na Terra, para registrar o tempo da viagem do foguete. No instante em que o foguete chegar a estrela, qual o tempo registrado no cronômetro?
(d) Se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra, qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?
(a) Para um ocupante do foguete, qual a duração da viagem?
(b) Quando o foguete chega a estrela, ele emite um sinal luminoso direcionado a Terra. Para um observador na Terra, quanto tempo transcorre entre a partida do foguete e o recebimento do sinal?
(c) Na partida do foguete, um cronômetro é acionado na Terra, para registrar o tempo da viagem do foguete. No instante em que o foguete chegar a estrela, qual o tempo registrado no cronômetro?
(d) Se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra, qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas. Vou listar tudo com calma para a gente não se perder.
- Distância entre Terra e estrela (no referencial da Terra):
anos-luz. - Velocidade do foguete:
. - Fator de Lorentz fornecido:
. - Perguntas:
(a) Para um ocupante do foguete, qual a duração da viagem?
(b) Quando o foguete chega à estrela, ele emite um sinal luminoso dirigido à Terra. Para um observador na Terra, quanto tempo transcorre entre a partida do foguete e o recebimento do sinal?
(c) Na partida do foguete, um cronômetro é acionado na Terra para registrar o tempo da viagem do foguete. No instante em que o foguete chegar à estrela, qual o tempo registrado no cronômetro?
(d) Se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra (isto é, se a leitura do cronômetro na Terra fosse conhecida instantaneamente, sem atraso de luz), qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?
Passo 2
Calcular o tempo de viagem no referencial da Terra (passo útil para várias perguntas).
Explicação rápida da fórmula que vamos usar: se um objeto percorre uma distância
a velocidade
(no mesmo referencial onde
foi medida), o tempo decorrido nesse referencial é
Aqui
tem unidades de tempo; como
está em anos-luz e
é uma fração de
, a razão dá diretamente anos.
Aplicando com
anos-luz e
:
Portanto, no referencial da Terra o foguete leva
anos para chegar à estrela.
Passo 3
Calcular a duração da viagem para o ocupante do foguete (parte (a)) usando duas maneiras equivalentes — vou explicar as ideias para você decorar e usar na prova.
Método 1 — dilatação do tempo:
- A dilatação do tempo diz que um intervalo de tempo
medido num referencial (“Terra”) corresponde a um tempo próprio no referencial em movimento (“foguete”) dado por
onde
é o fator de Lorentz. Aqui
é o tempo medido na Terra para a mesma sequência de eventos (partida e chegada).
Já achamos
anos e
. Logo
Método 2 — contração de comprimento (cheque de consistência):
- No referencial do foguete a distância até a estrela está contraída:
anos-luz. - O tempo que o foguete vê para percorrer essa distância é
anos.
Ambos dão o mesmo resultado. Então a duração da viagem para o ocupante é
anos.
Passo 4
Responder a parte (b): quanto tempo transcorre, segundo um observador na Terra, entre a partida do foguete e o recebimento do sinal luminoso emitido quando o foguete chega à estrela?
Raciocínio passo a passo:
- Tempo até o foguete chegar à estrela no referencial da Terra:
anos (calculado antes). - Quando o foguete chega à estrela (posição da estrela está a
anos-luz da Terra no referencial da Terra), ele emite sinal luminoso que viaja de volta à Terra à velocidade . O tempo de viagem da luz é simplesmente a distância dividida por , ou seja anos. - Portanto o tempo total entre partida e recebimento do sinal, no relógio da Terra, é
Passo 5
Responder a parte (c): qual o tempo registrado no cronômetro na Terra no instante em que o foguete chega à estrela?
Esclarecimento de conceito: “No instante em que o foguete chega à estrela” — isto é um evento localizado no espaço-tempo. Se perguntam qual leitura do cronômetro na Terra no mesmo instante segundo o referencial da Terra, estamos perguntando pela sincronização no referencial da Terra. No referencial da Terra, o evento “foguete chega à estrela” ocorre em
anos (vimos no Passo 2). O cronômetro, que está na Terra e foi iniciado em
, vai marcar exatamente esse tempo.
Logo o cronômetro na Terra registra
anos no instante em que o foguete chega à estrela (no referencial da Terra).
Passo 6
Responder a parte (d): se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra (isto é, se a leitura do cronômetro na Terra fosse conhecida instantaneamente, sem atraso por luz), qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?
Aqui entra a noção de simultaneidade relativa: dois eventos que são simultâneos num referencial podem não ser simultâneos em outro. O que se pede é a leitura do relógio da Terra que é simultânea com o evento “foguete chega à estrela” no referencial do foguete.
Vamos usar a transformação de Lorentz para tempos. Para transformar coordenadas entre o referencial da Terra
e o referencial do foguete
(onde o foguete está em repouso), a transformação para o tempo é
Aqui:
-
e são as coordenadas do evento no referencial da Terra; -
é a coordenada temporal do mesmo evento no referencial do foguete; -
é a velocidade do foguete relativa à Terra; -
já conhecida.
Primeiro determinamos o tempo no referencial do foguete do evento “foguete chega à estrela” (já vimos, é o tempo próprio do piloto):
Usando
anos,
anos-luz,
e
:
que é o tempo próprio do piloto (confere com o Passo 3).
Agora queremos saber qual instante
(leitura do cronômetro na Terra) é simultâneo com esse
anos no referencial do foguete. Simultaneidade no referencial do foguete significa "mesmo
". Pegamos um evento na Terra (posição
) com a mesma coordenada temporal
anos e resolvemos para
.
Para um evento com
temos a transformação:
Então, impondo
anos:
Interpretação: No referencial do foguete, o evento “foguete chega à estrela” é simultâneo com o instante em que o relógio da Terra marca
anos. Observação importante (pra não confundir): isso não é o que o piloto realmente vê opticamente no momento da chegada — para ver o que o relógio da Terra mostra ele precisaria receber luz vindo da Terra, o que envolve atraso de propagação da luz e seria diferente. A questão pediu explicitamente “se o piloto pudesse enxergar o cronômetro” (isto é, o que marcaria simultaneamente do ponto de vista do piloto), então usamos simultaneidade no referencial do foguete e obtivemos
anos.
Resposta
(a)
anos
(b) anos
(c) anos
(d) anos
(b)
(c)
(d)