Uma estrela está situada a 16 anos-luz da terra. Um foguete sai em direção á estrela a uma velocidade \mathrm{v}=4 \mathrm{c} / 5, que resulta em \gamma=5 / 3.
(a) Para um ocupante do foguete, qual a duração da viagem?
(b) Quando o foguete chega a estrela, ele emite um sinal luminoso direcionado a Terra. Para um observador na Terra, quanto tempo transcorre entre a partida do foguete e o recebimento do sinal?
(c) Na partida do foguete, um cronômetro é acionado na Terra, para registrar o tempo da viagem do foguete. No instante em que o foguete chegar a estrela, qual o tempo registrado no cronômetro?
(d) Se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra, qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas. Vou listar tudo com calma para a gente não se perder.
  • Distância entre Terra e estrela (no referencial da Terra): \;16 anos-luz.
  • Velocidade do foguete: \;v=\tfrac{4}{5}c.
  • Fator de Lorentz fornecido: \;\gamma=\tfrac{5}{3}.
  • Perguntas:
    (a) Para um ocupante do foguete, qual a duração da viagem?
    (b) Quando o foguete chega à estrela, ele emite um sinal luminoso dirigido à Terra. Para um observador na Terra, quanto tempo transcorre entre a partida do foguete e o recebimento do sinal?
    (c) Na partida do foguete, um cronômetro é acionado na Terra para registrar o tempo da viagem do foguete. No instante em que o foguete chegar à estrela, qual o tempo registrado no cronômetro?
    (d) Se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra (isto é, se a leitura do cronômetro na Terra fosse conhecida instantaneamente, sem atraso de luz), qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?

Passo 2

Calcular o tempo de viagem no referencial da Terra (passo útil para várias perguntas).
Explicação rápida da fórmula que vamos usar: se um objeto percorre uma distância \;L a velocidade \;v (no mesmo referencial onde \;L foi medida), o tempo decorrido nesse referencial é
\Delta t = \frac{L}{v}.
Aqui \Delta t tem unidades de tempo; como L está em anos-luz e v é uma fração de c, a razão dá diretamente anos.
Aplicando com L=16 anos-luz e v=\tfrac{4}{5}c:
\Delta t_{\text{Terra}} = \frac{16\\ \text{ly}}{\tfrac{4}{5}c} = 16 \cdot \frac{5}{4}\\ \text{anos} = 20\\ \text{anos}.
Portanto, no referencial da Terra o foguete leva \;20 anos para chegar à estrela.

Passo 3

Calcular a duração da viagem para o ocupante do foguete (parte (a)) usando duas maneiras equivalentes — vou explicar as ideias para você decorar e usar na prova.
Método 1 — dilatação do tempo:
  • A dilatação do tempo diz que um intervalo de tempo \Delta t medido num referencial (“Terra”) corresponde a um tempo próprio \Delta \tau no referencial em movimento (“foguete”) dado por
\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma},
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} é o fator de Lorentz. Aqui \Delta t é o tempo medido na Terra para a mesma sequência de eventos (partida e chegada).
Já achamos \Delta t_{\text{Terra}}=20 anos e \gamma=\tfrac{5}{3}. Logo
\Delta \tau = \frac{20}{\tfrac{5}{3}} = 20\cdot\frac{3}{5} = 12\\ \text{anos}.
Método 2 — contração de comprimento (cheque de consistência):
  • No referencial do foguete a distância até a estrela está contraída: L' = L/\gamma = 16/(\tfrac{5}{3}) = 16\cdot\tfrac{3}{5}=9{,}6 anos-luz.
  • O tempo que o foguete vê para percorrer essa distância é L'/v = 9{,}6 / (\tfrac{4}{5}c) = 9{,}6\cdot\tfrac{5}{4} = 12 anos.
Ambos dão o mesmo resultado. Então a duração da viagem para o ocupante é \;12 anos.

Passo 4

Responder a parte (b): quanto tempo transcorre, segundo um observador na Terra, entre a partida do foguete e o recebimento do sinal luminoso emitido quando o foguete chega à estrela?
Raciocínio passo a passo:
  • Tempo até o foguete chegar à estrela no referencial da Terra: \;20 anos (calculado antes).
  • Quando o foguete chega à estrela (posição da estrela está a 16 anos-luz da Terra no referencial da Terra), ele emite sinal luminoso que viaja de volta à Terra à velocidade c. O tempo de viagem da luz é simplesmente a distância dividida por c, ou seja 16 anos.
  • Portanto o tempo total entre partida e recebimento do sinal, no relógio da Terra, é
20\\ \text{anos} + 16\\ \text{anos} = 36\\ \text{anos}.

Passo 5

Responder a parte (c): qual o tempo registrado no cronômetro na Terra no instante em que o foguete chega à estrela?
Esclarecimento de conceito: “No instante em que o foguete chega à estrela” — isto é um evento localizado no espaço-tempo. Se perguntam qual leitura do cronômetro na Terra no mesmo instante segundo o referencial da Terra, estamos perguntando pela sincronização no referencial da Terra. No referencial da Terra, o evento “foguete chega à estrela” ocorre em t=20 anos (vimos no Passo 2). O cronômetro, que está na Terra e foi iniciado em t=0, vai marcar exatamente esse tempo.
Logo o cronômetro na Terra registra \;20 anos no instante em que o foguete chega à estrela (no referencial da Terra).

Passo 6

Responder a parte (d): se o piloto pudesse enxergar o cronômetro na Terra (isto é, se a leitura do cronômetro na Terra fosse conhecida instantaneamente, sem atraso por luz), qual a leitura que ele avistaria no instante de chegada a estrela?
Aqui entra a noção de simultaneidade relativa: dois eventos que são simultâneos num referencial podem não ser simultâneos em outro. O que se pede é a leitura do relógio da Terra que é simultânea com o evento “foguete chega à estrela” no referencial do foguete.
Vamos usar a transformação de Lorentz para tempos. Para transformar coordenadas entre o referencial da Terra S e o referencial do foguete S' (onde o foguete está em repouso), a transformação para o tempo é
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v x}{c^2}\right).
Aqui:
  • t e x são as coordenadas do evento no referencial da Terra;
  • t' é a coordenada temporal do mesmo evento no referencial do foguete;
  • v é a velocidade do foguete relativa à Terra;
  • \gamma já conhecida.
Primeiro determinamos o tempo no referencial do foguete do evento “foguete chega à estrela” (já vimos, é o tempo próprio do piloto):
t'_{\text{chegada}} = \gamma\!\left(t_{\text{chegada}} - \frac{v x_{\text{chegada}}}{c^2}\right).
Usando t_{\text{chegada}}=20 anos, x_{\text{chegada}}=16 anos-luz, v=\tfrac{4}{5}c e \gamma=\tfrac{5}{3}:
t'_{\text{chegada}} = \frac{5}{3}\!\left(20 - \frac{4}{5}\cdot 16\right) = \frac{5}{3}\!\left(20 - 12{,}8\right) = \frac{5}{3}\cdot 7{,}2 = 12\\ \text{anos},
que é o tempo próprio do piloto (confere com o Passo 3).
Agora queremos saber qual instante t_{\text{Terra}} (leitura do cronômetro na Terra) é simultâneo com esse t'_{\text{chegada}}=12 anos no referencial do foguete. Simultaneidade no referencial do foguete significa "mesmo t'". Pegamos um evento na Terra (posição x=0) com a mesma coordenada temporal t'=12 anos e resolvemos para t.
Para um evento com x=0 temos a transformação:
t' = \gamma t.
Então, impondo t' = 12 anos:
t_{\text{Terra simultâneo}} = \frac{t'}{\gamma} = \frac{12}{\tfrac{5}{3}} = 12\cdot\frac{3}{5} = 7{,}2\\ \text{anos}.â
Interpretação: No referencial do foguete, o evento “foguete chega à estrela” é simultâneo com o instante em que o relógio da Terra marca \;7{,}2 anos. Observação importante (pra não confundir): isso não é o que o piloto realmente vê opticamente no momento da chegada — para ver o que o relógio da Terra mostra ele precisaria receber luz vindo da Terra, o que envolve atraso de propagação da luz e seria diferente. A questão pediu explicitamente “se o piloto pudesse enxergar o cronômetro” (isto é, o que marcaria simultaneamente do ponto de vista do piloto), então usamos simultaneidade no referencial do foguete e obtivemos \;7{,}2 anos.

Resposta

(a) 12 anos
(b) 36 anos
(c) 20 anos
(d) 7{,}2 anos

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