Em alguns casos, é necessário aplicar a Regra de L’Hôpital mais de uma vez. Por exemplo,
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{2 x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{2}=+\infty
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo \infty / \infty, enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+3 e^{3 x}}{e^{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+3e^{3x}}{e^{3x}}
que é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Vamos usar a Regra de L’Hôpital sucessivamente para resolver.

Passo 2

Aplicando a Regra de L’Hôpital à fração original, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2+3e^{3x}\bigr)=2x+9e^{3x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr)=3e^{3x}.
Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+3e^{3x}}{e^{3x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+9e^{3x}}{3e^{3x}} =\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{2x}{3e^{3x}}+3\Bigr).

Passo 3

Ainda temos um termo \frac{2x}{3e^{3x}} que é \infty/\infty. Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
\frac{d}{dx}(2x)=2, \quad \frac{d}{dx}(3e^{3x})=9e^{3x},
assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{3e^{3x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{9e^{3x}} =0.

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2, temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{2x}{3e^{3x}}+3\Bigr) =0+3=3.

Resposta

3

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