Calcule
\mathbb{C},
\sqrt[3]{-i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de
z^3 = -i
no conjunto dos números complexos \mathbb{C}. Vamos usar a forma polar de um número complexo e a fórmula de De Moivre para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos -i em forma polar. O módulo é
r = |{-i}| = 1
e um argumento principal é
\theta = -\frac{\pi}{2}
(afinal -i fica 90\circ abaixo do eixo real). Em geral podemos escrever
-i = e^{\,i\bigl(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\bigr)}\quad(n\in\mathbb{Z}).

Passo 3

Para obter as raízes cúbicas usamos que, se
w = r\,e^{\,i\theta},
então as três raízes de w são
z_k = r^{1/3}\,e^{\,i\frac{\theta + 2\pi k}{3}} \quad\text{para }k=0,1,2.
Aqui r^{1/3}=1, w=-i e \theta=-\tfrac{\pi}{2}, logo
z_k = e^{\,i\frac{-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}} \quad(k=0,1,2).

Passo 4

Bastaplugarmos k=0,1,2:
Para k=0:
z_0 = e^{-i\pi/6} = \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{i}{2}.
Para k=1:
z_1 = e^{\,i\pi/2} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = i.
Para k=2:
z_2 = e^{\,i\frac{7\pi}{6}} = \cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{i}{2}.

Resposta

As três raízes cúbicas de -i em \mathbb{C} são
\sqrt[3]{-i} \;=\;\Bigl\{\tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{i}{2},\;i,\;-\tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{i}{2}\Bigr\}.

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