(3,0) Alguns estudantes universitários alugaram um alojamento antigo no qual as janelas são construídas de um painel simples. Um dos estudantes cursa engenharia e, como todo bom engenheiro, deseja conservar energia e também economizar alguns reais de combustível utilizado no aquecimento. Assim sendo, ele propôs que a perda de calor seja reduzida cobrindo as janelas com um isolamento de poliestireno [ kis =0,027 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})] durante a noite. Para a economia de energia, considere a aplicação de painéis de isolamento com 25 mm de espessura em janelas de vidro com 6 mm de espessura [k j=1,4 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})] . \mathrm{O} coeficiente de transferência de calor por convecção da superfície externa da janela vale he =30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Com o isolamento, o coeficiente
de transferência de calor por convecção na parede interna é hí =4 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right); sem isolamento é h i=5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right).
(a) Esquematize o circuito térmico para a condição da janela com isolamento.
(b) Se a área superficial total das janelas do alojamento é As = 12 \mathrm{~m}^{2}, quais são as perdas de calor associadas às janelas isoladas e não-isoladas para temperaturas do ar interno e externo iguais a 30^{\circ} \mathrm{C} e -22^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente?

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  1. (a) Esquematizar o circuito térmico quando a janela está coberta pelo painel isolante de poliestireno.
  2. (b) Calcular as perdas de calor pelas janelas (potência térmica dissipada) com e sem o isolamento, dado que a área total das janelas é A_s=12\\ \mathrm{m}^2 e as temperaturas do ar interno e externo são 30^\circ\mathrm{C} e -22^\circ\mathrm{C}, respectivamente.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &k_{\text{is}} = 0,027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad\text{(poliestireno)},\\\ &L_{\text{is}} = 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m},\\\ &k_j = 1,4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad\text{(vidro)},\\\ &L_j = 6\\ \mathrm{mm} = 0,006\\ \mathrm{m},\\\ &h_e = 30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\quad\text{(convecção externa)},\\\ &h_{i,\text{com}} = 4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\quad\text{(convecção interna com isolamento)},\\\ &h_{i,\text{sem}} = 5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\quad\text{(convecção interna sem isolamento)},\\\ &A_s = 12\\ \mathrm{m}^2,\\\ &T_i = 30^\circ\mathrm{C},\quad T_e = -22^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad \Delta T = T_i-T_e = 52\\ \mathrm{K}. \end{aligned}çãçãçã

Passo 2

Conceito e fórmula-chave — resistência térmica em série:
Quando há transferência de calor em uma direção atravessando camadas (convecção e condução em série), podemos escrever a resistência térmica total por unidade de área como soma das resistências individuais:
R_{\text{tot}} = R_{\text{conv,int}} + R_{\text{cond,camadas}} + R_{\text{conv,ext}}.
As fórmulas que vamos usar são:
  • Resistência por convecção (superfície): R_{\text{conv}}=\frac{1}{h},
onde h é o coeficiente convectivo em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. A unidade de R_{\text{conv}} é \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Resistência por condução de uma camada plana: R_{\text{cond}}=\frac{L}{k},
onde L é a espessura da camada (m) e k a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). Também tem unidade \mathrm{m^2\cdot K/W}.
A potência (taxa de perda de calor) por unidade de área é
\dot{q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}},
e a potência total para área A_s é
\dot{Q}=\dot{q}\,A_s=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}\,A_s.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Esquema do circuito térmico para a janela com isolamento (parte (a)):
Como o isolamento é colocado cobrindo a janela pelo lado interno, as resistências em série da trajetória do calor são, da esquerda (ar interno) para a direita (ar externo):
\text{ar interno} \;\xrightarrow{\;\;h_{i,\text{com}}\;\;}\; \text{superfície interna (convecção)} \;\xrightarrow{\;\;L_{\text{is}},\\ k_{\text{is}}\;\;}\; \text{poliestireno (condução)} \;\xrightarrow{\;\;L_j,\\ k_j\;\;}\; \text{vidro (condução)} \;\xrightarrow{\;\;h_e\;\;}\; \text{ar externo}.íçãçãçã
Em termos de resistências (em série):
R_{\text{tot,com}}=\frac{1}{h_{i,\text{com}}}+\frac{L_{\text{is}}}{k_{\text{is}}}+\frac{L_j}{k_j}+\frac{1}{h_e}.
(Isto é o circuito térmico esquematizado: quatro resistências em série.)

Passo 4

Calcular numericamente cada resistência no caso com isolamento:
Usando as fórmulas dadas:
\begin{aligned} R_{\text{conv,int,com}} &= \frac{1}{h_{i,\text{com}}}=\frac{1}{4} = 0,25\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},\\[6pt] R_{\text{pol}} &= \frac{L_{\text{is}}}{k_{\text{is}}}=\frac{0,025}{0,027}\approx 0,9259259259\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},\\[6pt] R_{\text{vidro}} &= \frac{L_j}{k_j}=\frac{0,006}{1,4}=0,0042857143\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},\\[6pt] R_{\text{conv,ext}} &= \frac{1}{h_e}=\frac{1}{30}=0,0333333333\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}. \end{aligned}
Somando:
R_{\text{tot,com}}=0,25+0,9259259259+0,0042857143+0,0333333333\approx 1,213545\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.]

Passo 5

Calcular a perda de calor com isolamento:
Primeiro a densidade de fluxo de calor (por unidade de área):
\dot{q}_{\text{com}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,com}}}=\frac{52}{1,213545}\approx 42{,}89\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora a potência total para a área A_s=12\\ \mathrm{m}^2:
\dot{Q}_{\text{com}}=\dot{q}_{\text{com}}\,A_s \approx 42{,}89\times 12 \approx 514{,}7\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Circuito e cálculo para a janela sem isolamento (caso sem o painel):
Agora a sequência é ar interno \xrightarrow{h_{i,\text{sem}}} vidro \xrightarrow{h_e} ar externo. Não há resistência do poliestireno. As resistências por unidade de área são:
R_{\text{tot,sem}}=\frac{1}{h_{i,\text{sem}}}+\frac{L_j}{k_j}+\frac{1}{h_e}.
Calculemos numericamente cada termo:
\begin{aligned} R_{\text{conv,int,sem}} &= \frac{1}{h_{i,\text{sem}}}=\frac{1}{5}=0{,}2\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},\\[6pt] R_{\text{vidro}} &= 0{,}0042857143\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}\quad\text{(já calculado)},\\[6pt] R_{\text{conv,ext}} &= 0{,}0333333333\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}. \end{aligned}á
Somando:
R_{\text{tot,sem}}=0{,}2+0{,}0042857143+0{,}0333333333\approx 0{,}237619\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.]

Passo 7

Calcular a perda de calor sem isolamento:
Densidade de fluxo de calor:
\dot{q}_{\text{sem}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot,sem}}}=\frac{52}{0{,}237619}\approx 218{,}83\\ \mathrm{W/m^2}.
Potência total:
\dot{Q}_{\text{sem}}=\dot{q}_{\text{sem}}\,A_s \approx 218{,}83\times 12 \approx 2\,626\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Interpretação e comparação (ajuda motivacional rápida):
Resumo dos resultados: com o painel de poliestireno as perdas caem para cerca de meio quilowatt, enquanto sem ele as perdas são de cerca de 2{,}6\\ \mathrm{kW}. Ou seja, a cobertura reduz muito a perda de calor — é um ganho significativo e dinheiro poupado no aquecimento. Vai dar para sentir a diferença no bolso (e no quarto)!

Resposta

\dot{Q}_{\text{com isolamento}}\approx 514{,}7\\ \mathrm{W}
\dot{Q}_{\text{sem isolamento}}\approx 2\,626\\ \mathrm{W}

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