Determine a pressão e a temperatura a que
de Xe estará em estados correspondentes ao de
de
a
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
mol de
a
e
. Também há
mol de Xe (xenônio) para o qual devemos determinar a pressão e a temperatura.
Informações relevantes que extraí do enunciado e que usarei mais adiante:
Informações relevantes que extraí do enunciado e que usarei mais adiante:
- Quantidades de matéria:
e . - Estado conhecido do
: e . - Conversão necessária:
em kelvin.
O que o enunciado pede: determinare tal que o estado do Xe seja “correspondente” ao do nas condições dadas.
Passo 2
Interpretação do termo “estados correspondentes” e escolha do método (explico o porquê).
O enunciado não explicita o que significa “correspondente”. Para obter duas incógnitas ( e
) precisamos de duas condições. Uma escolha física e natural é exigir que o Xe tenha (1) o mesmo volume (mesmo volume total, já que
é igual) e (2) a mesma velocidade quadrática média (mesma velocidade típica das moléculas) do
. Isso combina uma condição macroscópica (mesmo volume) e uma condição microscópica (mesma velocidade média), produzindo duas equações que permitem determinar
e
. Vou usar a Lei dos Gases Ideais e a expressão para a velocidade quadrática média (rms) da teoria cinética.
O enunciado não explicita o que significa “correspondente”. Para obter duas incógnitas (
Passo 3
Converter a temperatura dada para kelvin e anotar massas molares.
-
- Massa molar do
: - Massa molar do Xe:
Passo 4
Apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo.
- Lei dos gases ideais:
onde
é a pressão,
é o volume,
é a quantidade de matéria (mol),
é a constante dos gases (
) e
é a temperatura em kelvin.
- Velocidade quadrática média (rms) da teoria cinética para uma molécula:
onde
é a velocidade quadrática média,
é a constante dos gases na unidade
,
é a temperatura em kelvin e
é a massa molar em
. Essa fórmula vem da relação entre energia cinética média por mol e
.
Passo 5
Escrever as duas condições que impusemos (mesmo volume e mesma
) em forma matemática.
- Mesmo volume (ambos têm
):
Como
e
aparecem dos dois lados, simplifica para
- Mesma velocidade rms:
As quantidades
cancelam sob a raiz, resultando em
Passo 6
Resolver a segunda equação para
.
Da igualdade das razões das temperaturas sobre massas molares:
Da igualdade das razões das temperaturas sobre massas molares:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule a razão de massas molares:
Logo
Passo 7
Usar a primeira equação para obter
.
Da relação temos
Da relação
Substituindo
resulta em
Como
,
Passo 8
Verificação rápida (checagem de consistência): calcular o volume de
de
e verificar que com
e
dados o volume do Xe é o mesmo.
Volume do :
Volume do
Volume do Xe com
e
:
Concorda (pequenas diferenças numéricas por arredondamento), então os resultados são consistentes.
Resposta
Pressão:
Temperatura:
Temperatura: