Determine a pressão e a temperatura a que 1,0 \mathrm{~mol} de Xe estará em estados correspondentes ao de 1,0 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} a 1,0 \mathrm{~atm} e 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá: 1{,}0 mol de \mathrm{H}_{2} a 1{,}0\\ \mathrm{atm} e 25^{\circ}\mathrm{C}. Também há 1{,}0 mol de Xe (xenônio) para o qual devemos determinar a pressão e a temperatura.
Informações relevantes que extraí do enunciado e que usarei mais adiante:
  • Quantidades de matéria: n_{\mathrm{H}_2}=1{,}0\\ \mathrm{mol} e n_{\mathrm{Xe}}=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • Estado conhecido do \mathrm{H}_2: P_{\mathrm{H}_2}=1{,}0\\ \mathrm{atm} e T_{\mathrm{H}_2}=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Conversão necessária: T_{\mathrm{H}_2} em kelvin.
    O que o enunciado pede: determinar P_{\mathrm{Xe}} e T_{\mathrm{Xe}} tal que o estado do Xe seja “correspondente” ao do \mathrm{H}_2 nas condições dadas.

Passo 2

Interpretação do termo “estados correspondentes” e escolha do método (explico o porquê).
O enunciado não explicita o que significa “correspondente”. Para obter duas incógnitas ( P_{\mathrm{Xe}} e T_{\mathrm{Xe}}) precisamos de duas condições. Uma escolha física e natural é exigir que o Xe tenha (1) o mesmo volume (mesmo volume total, já que n é igual) e (2) a mesma velocidade quadrática média (mesma velocidade típica das moléculas) do \mathrm{H}_2. Isso combina uma condição macroscópica (mesmo volume) e uma condição microscópica (mesma velocidade média), produzindo duas equações que permitem determinar P_{\mathrm{Xe}} e T_{\mathrm{Xe}}. Vou usar a Lei dos Gases Ideais e a expressão para a velocidade quadrática média (rms) da teoria cinética.

Passo 3

Converter a temperatura dada para kelvin e anotar massas molares.
  • T_{\mathrm{H}_2}=25^{\circ}\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar do \mathrm{H}_2: M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}002016\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Massa molar do Xe: M_{\mathrm{Xe}}=131{,}29\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0{,}13129\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo.
  • Lei dos gases ideais:
PV=nRT
onde P é a pressão, V é o volume, n é a quantidade de matéria (mol), R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}) e T é a temperatura em kelvin.
  • Velocidade quadrática média (rms) da teoria cinética para uma molécula:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}
onde v_{\mathrm{rms}} é a velocidade quadrática média, R é a constante dos gases na unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, T é a temperatura em kelvin e M é a massa molar em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}. Essa fórmula vem da relação entre energia cinética média por mol e \tfrac{3}{2}RT.

Passo 5

Escrever as duas condições que impusemos (mesmo volume e mesma v_{\mathrm{rms}}) em forma matemática.
  1. Mesmo volume (ambos têm n=1{,}0\\ \mathrm{mol}):
V_{\mathrm{Xe}}=V_{\mathrm{H}_2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{nRT_{\mathrm{Xe}}}{P_{\mathrm{Xe}}}=\frac{nRT_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2}}
Como n e R aparecem dos dois lados, simplifica para
\frac{T_{\mathrm{Xe}}}{P_{\mathrm{Xe}}}=\frac{T_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2}}.
  1. Mesma velocidade rms:
v_{\mathrm{rms},\mathrm{Xe}}=v_{\mathrm{rms},\mathrm{H}_2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\dfrac{3RT_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{Xe}}}}=\sqrt{\dfrac{3RT_{\mathrm{H}_2}}{M_{\mathrm{H}_2}}}.
As quantidades 3R cancelam sob a raiz, resultando em
\frac{T_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{Xe}}}=\frac{T_{\mathrm{H}_2}}{M_{\mathrm{H}_2}}.

Passo 6

Resolver a segunda equação para T_{\mathrm{Xe}}.
Da igualdade das razões das temperaturas sobre massas molares:
T_{\mathrm{Xe}} = T_{\mathrm{H}_2}\,\frac{M_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{H}_2}}.
Substituindo os valores numéricos:
T_{\mathrm{Xe}} = 298{,}15\\ \mathrm{K}\times\frac{0{,}13129\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}}{0{,}002016\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}}.
Calcule a razão de massas molares:
\frac{0{,}13129}{0{,}002016}\approx 65{,}124.
Logo
T_{\mathrm{Xe}}\approx 298{,}15\times 65{,}124 \approx 1,94\times 10^{4}\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Usar a primeira equação para obter P_{\mathrm{Xe}}.
Da relação \dfrac{T_{\mathrm{Xe}}}{P_{\mathrm{Xe}}}=\dfrac{T_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2}} temos
P_{\mathrm{Xe}} = P_{\mathrm{H}_2}\,\frac{T_{\mathrm{Xe}}}{T_{\mathrm{H}_2}}.
Substituindo T_{\mathrm{Xe}} = T_{\mathrm{H}_2}\dfrac{M_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{H}_2}} resulta em
P_{\mathrm{Xe}} = P_{\mathrm{H}_2}\frac{M_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{H}_2}}.
Como P_{\mathrm{H}_2}=1{,}0\\ \mathrm{atm},
P_{\mathrm{Xe}} = 1{,}0\\ \mathrm{atm}\times 65{,}124 \approx 65{,}1\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de consistência): calcular o volume de 1{,}0\\ \mathrm{mol} de \mathrm{H}_2 e verificar que com P_{\mathrm{Xe}} e T_{\mathrm{Xe}} dados o volume do Xe é o mesmo.
Volume do \mathrm{H}_2:
V_{\mathrm{H}_2}=\frac{nRT_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2}}=\frac{1{,}0\times 0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 298{,}15}{1{,}0}\approx 24{,}5\\ \mathrm{L}.
Volume do Xe com P_{\mathrm{Xe}} e T_{\mathrm{Xe}}:
V_{\mathrm{Xe}}=\frac{nRT_{\mathrm{Xe}}}{P_{\mathrm{Xe}}}=\frac{1{,}0\times 0{,}08206\times 1{,}94\times10^{4}}{65{,}1}\\ \mathrm{L}\approx 24{,}5\\ \mathrm{L}.
Concorda (pequenas diferenças numéricas por arredondamento), então os resultados são consistentes.

Resposta

Pressão: 65{,}1\\ \mathrm{atm}
Temperatura: 1,94\times10^{4}\\ \mathrm{K}

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