Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Este exercício pede para resolver a equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar: (a) achar a solução geral da homogênea via equação característica, (b) aplicar a fórmula de variação de parâmetros para construir a parte particular e © juntar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
Começamos pela equação característica associada à parte homogênea
. Assumimos
e obtemos
Passo 3
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 4
Logo, duas soluções fundamentais são
Passo 5
Para aplicar variação de parâmetros, buscamos uma parte particular da forma
Passo 6
O Wronskiano das soluções
é
Passo 7
Calculando: como
y1'=r1y1 e
y2'=r2y2 com
r1=30(1+raiz2),;r2=30(1-raiz2) , temos
Passo 8
As fórmulas para
u1' e
u2' são
Passo 9
Substituindo
y1,y2,W e simplificando os expoentes, obtemos
Passo 10
Agora integramos para achar
u1 e
u2 :
Passo 11
Montamos então
Passo 12
Ao combinar expoentes e simplificar a expressão, chega-se a
Passo 13
Por fim, a solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular: