Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
y^prime prime-60 y^prime-900 y=5 e^10 x

Passo 1

Este exercício pede para resolver a equação diferencial y'' - 60y' - 900y = 5e^10x usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar: (a) achar a solução geral da homogênea via equação característica, (b) aplicar a fórmula de variação de parâmetros para construir a parte particular e © juntar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Começamos pela equação característica associada à parte homogênea y'' - 60y' - 900y = 0. Assumimos y = e^rx e obtemos
r^2 - 60r - 900 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação quadrática:
r = 60 pm raiz60^2 + 4cdot9002 = 60 pm raiz3600 + 36002 = 60 pm 60raiz22 = 30(1 pm raiz2)

Passo 4

Logo, duas soluções fundamentais são
y1 = e^30(1+raiz2)x, y2 = e^30(1-raiz2)x

Passo 5

Para aplicar variação de parâmetros, buscamos uma parte particular da forma
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2, onde as funções u1 e u2 satisfazem o sistema clássico:
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = 5e^10x

Passo 6

O Wronskiano das soluções y1,y2 é
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1y2' - y2y1'

Passo 7

Calculando: como y1'=r1y1 e y2'=r2y2 com r1=30(1+raiz2),;r2=30(1-raiz2), temos
W = (r2 - r1)e^(r1+r2)x = -60raiz2,e^60x

Passo 8

As fórmulas para u1' e u2' são
u1' = -5e^10x;y2W, u2' = 5e^10x;y1W

Passo 9

Substituindo y1,y2,W e simplificando os expoentes, obtemos
u1' = 112raiz2e^(-20 - 30raiz2)x, u2' = -112raiz2e^(-20 + 30raiz2)x

Passo 10

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral u1',dx = 112raiz2 cdot e^(-20 -30raiz2)x-20 -30raiz2,
u2 = integral u2',dx = -112raiz2 cdot e^(-20 +30raiz2)x-20 +30raiz2

Passo 11

Montamos então
yp = u1y1 + u2y2

Passo 12

Ao combinar expoentes e simplificar a expressão, chega-se a
yp = -1280e^10x

Passo 13

Por fim, a solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:

Resposta

y(x) = C1e^30(1+raiz2)x + C2e^30(1-raiz2)x - 1280e^10x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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