Explique a diferença entre coordenadas cilíndricas e esféricas e quando é mais vantajoso utilizar cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender dois sistemas de coordenadas (cilíndricas e esféricas), o conteúdo é transformação de coordenadas em geometria analítica e cálculo vetorial, e vamos precisar conhecer as relações de cada sistema com as coordenadas cartesianas e o tipo de simetria que cada sistema explora.

Passo 2

Coordenadas cilíndricas usam três variáveis: o raio no plano, o ângulo azimutal e a altura. Chamamos de r a distância ao eixo z, de varphi o ângulo em torno desse eixo e de z a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano. As relações com (x,y,z) são:
x = rcosvarphi, y = rsinvarphi, z = z
O jacobiano para mudança de variáveis em integrais é r, pois a área de um elemento de plano é r,dr,dvarphi.

Passo 3

Coordenadas esféricas usam três variáveis também, mas agora representam distância radial, ângulo polar (ou inclinação) e ângulo azimutal. Chamamos de rho a distância ao ponto de origem, de theta o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar) e de varphi o mesmo ângulo azimutal usado antes. As relações com (x,y,z) são:
x = rhosinthetacosvarphi, y = rhosinthetasinvarphi, z = rhocostheta
O jacobiano é rho^2sintheta, refletindo a variação de volume.

Passo 4

A principal diferença está na geometria que cada sistema explora. Coordenadas cilíndricas servem bem quando o problema tem simetria em torno de um eixo (pense em tubos, cilindros infinitos ou distribuição que só depende do raio e da altura). Coordenadas esféricas são ideais quando o problema tem simetria radial em 3D (como campos ao redor de uma carga pontual, gravitação ou objetos que dependem só da distância ao centro).

Passo 5

Na prática, use coordenadas cilíndricas quando a simetria do seu domínio ou das equações for em torno de um eixo (por exemplo, cálculo de fluxo em um cano ou distribuição de temperatura num cilindro). Use coordenadas esféricas sempre que o problema apresentar simetria completa ao redor de um ponto (por exemplo, potencial elétrico ao redor de uma carga ou distribuição de massa esférica).

Resposta

Cilíndricas: (r,varphi,z), melhor para simetria em torno de um eixo (cilindros, canos), jacobiano r. Esféricas: (rho,theta,varphi), melhor para simetria radial completa (esferas, cargas pontuais), jacobiano rho^2sintheta.

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