Alguns tipos de bactérias contêm cadeias de partículas ferromagnéticas paralelas a seu eixo longitudinal. As cadeias atuam como pequenos imãs em barras que alinham essas bactérias magnetoestéticas com o campo magnético da Terra. Em uma experiência para estudar a resposta a tais bactérias aos campos magnéticos, um solenoide foi construído com fio de cobre de 1,0 \mathrm{~mm} de diâmetro, enrolado por igual em uma única camada para formar uma bobina helicoidal com comprimento de 40 cm e diâmetro de 12 cm . O fio possui uma camada muito fina de isolamento esmaltado, e a bobina é enrolada de modo que as voltas adjacentes se toquem umas nas outras. O solenoide, que gera um campo magnético, está em um recipiente que o isola de outros campos magnéticos.
Uma amostra das bactérias magnetoestáticas é colocada dentro do solenoide. O torque sobre uma bactéria individual no campo magnético do solenoide é proporcional ao módulo do campo magnético e ao seno do ângulo entre o eixo longo da bactéria e a direção do campo magnético.
Que corrente é necessária no fio para que o campo magnético experimentado pela bactéria tenha um módulo de 150 \mu \mathrm{~T} ?

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • O problema pede: qual corrente é necessária no fio para que o campo magnético dentro do solenoide tenha módulo igual a 150\\ \mu\mathrm{T}.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do fio (espessura do fio com isolação muito fina): 1{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • A bobina é enrolada em uma única camada, com voltas adjacentes tocando-se.
    • Comprimento do solenoide: 40\\ \mathrm{cm}.
    • Diâmetro da bobina (solenoide): 12\\ \mathrm{cm}.
    • Campo desejado: 150\\ \mu\mathrm{T}.
  • Observação útil (do enunciado): a camada de isolamento é muito fina, então podemos considerar que a distância entre centros de voltas consecutivas é aproximadamente o diâmetro do fio.
  • O enunciado não pede efeito de extremidades nem dependência do diâmetro da bobina; portanto usaremos a fórmula do campo dentro de um solenoide longo e uniformemente enrolado.

Passo 2

Converter unidades e calcular o número de voltas totais N.
  • Primeiro, converto tudo para unidades do SI:
    • Diâmetro do fio: 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do solenoide: 40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m}.
    • Campo desejado: 150\\ \mu\mathrm{T} = 150\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Como as voltas estão em uma única camada e se tocam, o passo entre centros de voltas vale aproximadamente o diâmetro do fio. Logo o número de voltas é N=\frac{\text{comprimento}}{\text{espaçamento entre voltas}}=\frac{0{,}40}{1{,}0\times 10^{-3}}.ç
  • Faço a divisão: N=\frac{0{,}40}{0{,}001}=400.Então há N=400 voltas no solenoide.

Passo 3

Calcular a densidade de voltas por unidade de comprimento n.
  • A densidade de voltas n (também chamada de número de espiras por metro) é n=\frac{N}{L},onde L é o comprimento do solenoide.
  • Substituindo N=400 e L=0{,}40\\ \mathrm{m}, n=\frac{400}{0{,}40}=1000\\ \mathrm{espiras\cdot m^{-1}}.

Passo 4

Apresentar a fórmula do campo magnético de um solenoide longo e explicar as variáveis.
  • Para um solenoide longo e bem enrolado, o campo magnético no interior, ao longo do eixo e aproximadamente uniforme, é dado por B=\mu_0\, n\, I,onde:
    • B é o módulo do campo magnético (em teslas),
    • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A},
    • n é o número de espiras por metro (espiras·m ^{-1}),
    • I é a corrente que percorre o fio (em amperes).
  • Nós queremos I. Isolando I da fórmula: I=\frac{B}{\mu_0\, n}.

Passo 5

Substituir os valores e calcular a corrente I passo a passo.
  • Valores: B=150\times 10^{-6}\\ \mathrm{T},\qquad \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A},\qquad n=1000\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Primeiro calculo o produto \mu_0\, n: \mu_0\, n=(4\pi\times 10^{-7})\times 1000=4\pi\times 10^{-4}.Em valor numérico aproximado, 4\pi\times 10^{-4}\approx 1{,}256637\times 10^{-3}.
  • Agora calculo I: I=\frac{150\times 10^{-6}}{1{,}256637\times 10^{-3}}.
  • Faço a divisão: I\approx 0{,}1194\\ \mathrm{A}.
  • Arredondando de forma prática para a precisão dada nos dados (diâmetro do fio com 2 algarismos significativos), podemos escrever I\approx 0{,}12\\ \mathrm{A}.

Resposta

I\approx 0{,}12\\ \mathrm{A}

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