O Lítio foi um dos metais estudados por Millikan para comprovar a teoria de Einstein do efeito fotoelétrico. Esse metal tem uma função trabalho de 2,42 e V. (a) Escreva a equação fotoelétrica e explique cada termo. (b) Calcular o limiar fotoelétrico para uma radiação incidente neste metal. (c) Calcular o número de fótons dessa radiação que atingem uma área A=1 \mathrm{~cm}^{2} do Lítio, num tempo de 1 s, sabendo que a fonte possui uma potência de 1 W e é mantida a uma distância de 1 m . ( 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi fornecido:
  • Perguntas:
    (a) Escrever a equação fotoelétrica e explicar cada termo.
    (b) Calcular o limiar fotoelétrico para a radiação incidente no lítio (ou seja, frequência e comprimento de onda limite abaixo dos quais não ocorre emissão).
    (c) Calcular o número de fótons dessa radiação que atingem uma área A=1\\ \mathrm{cm}^2 do lítio em 1\\ \mathrm{s}, sabendo que a fonte tem potência 1\\ \mathrm{W} e está a 1\\ \mathrm{m} de distância.
  • Dados fornecidos:
    \varphi = 2{,}42\\ \mathrm{eV} (função trabalho do lítio).
    Potência da fonte P = 1\\ \mathrm{W}.
    Distância r = 1\\ \mathrm{m}.
    Área A = 1\\ \mathrm{cm}^2 = 1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
    Tempo t = 1\\ \mathrm{s}.
  • Observação que vou adotar (necessária para calcular intensidade): assumirei que a fonte é pontual e emite isotropicamente (mesma potência por todas as direções). Se a fonte não for isotrópica, o resultado muda, mas o enunciado não especifica, então uso a hipótese padrão de emissão isotrópica.
A resolução começa a partir do próximo passo.

Passo 2

(a) Equação fotoelétrica e explicação de cada termo.
A equação básica do efeito fotoelétrico (forma de energia) é
K_{\text{máx}} = h\nu - \varphiá
onde:
  • K_{\text{máx}}á é a energia cinética máxima dos elétrons emitidos (em joules, \mathrm{J}). É a energia que sobra para o elétron após escapar do metal. Se for zero, elétrons são apenas liberados com energia nula.
  • h é a constante de Planck, h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Ela relaciona a frequência de uma onda eletromagnética com a energia de um fóton.
  • \nu é a frequência da radiação incidente (em hertz, \mathrm{Hz}).
  • \varphi é a função trabalho do metal (energia mínima necessária para liberar um elétron do metal), em joules. No enunciado foi dada em elétron-volts ( \mathrm{eV}); depois mostro a conversão para joules.
Outra forma prática, ligada ao potencial de frenagem (potencial de parada V_0), é
eV_0 = h\nu - \varphi
onde e é a carga elementar ( e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}) e V_0 é a diferença de potencial necessária para parar o elétron mais energético. Essa forma é útil em experimentos com potenciômetros.
Explicação física simples: cada fóton tem energia h\nu. Parte dessa energia ( \varphi) é gasta para liberar o elétron do metal; o que sobrar vira energia cinética do elétron ( K_{\text{máx}}á). Se h\nu<\varphi, não há emissão.

Passo 3

(b) Primeiro passo prático: converter a função trabalho \varphi de \mathrm{eV} para joules.
Sabemos que 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
\varphi = 2{,}42\\ \mathrm{eV} = 2{,}42 \times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calculemos:
\varphi = 3{,}877267454\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 3{,}877\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

(b) Calcular a frequência de limiar \nu_0. Pelo conceito de limiar, a frequência mínima que produz emissão satisfaz h\nu_0 = \varphi. Assim
\nu_0 = \frac{\varphi}{h}.
Substituindo \varphi = 3{,}877267454\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} e h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}:
\nu_0 = \frac{3{,}877267454\times 10^{-19}}{6{,}62607015\times 10^{-34}}\\ \mathrm{Hz} = 5{,}85\times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: radiações com frequência menor que \nu_0 não conseguem arrancar elétrons do lítio.

Passo 5

(b) Calcular o comprimento de onda de limiar \lambda_0. A relação entre velocidade da luz c, frequência \nu e comprimento de onda \lambda é \lambda = c/\nu. Usando c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{2{,}99792458\times 10^{8}}{5{,}85\times 10^{14}}\\ \mathrm{m} = 5{,}13\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 513\\ \mathrm{nm}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação rápida: \lambda_0 está na região visível (verde), então luz com comprimento de onda maior que 513\\ \mathrm{nm} (vermelho/infrared) não ejetará elétrons no lítio.

Passo 6

(c) Estratégia para contar fótons que atingem a área: a fonte de potência P emite energia por segundo. Se for pontual e isotrópica, a intensidade (fluxo de potência por área) a distância r é
I = \frac{P}{4\pi r^2}\quad(\mathrm{W/m^2}).
Explanação: a potência P é distribuída uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r, cuja área é 4\pi r^2. Assim a fração que cai sobre uma pequena área A é I\cdot A.
Com P=1\\ \mathrm{W} e r=1\\ \mathrm{m}:
I = \frac{1}{4\pi(1)^2} = \frac{1}{4\pi}\\ \mathrm{W/m^2} \approx 7{,}95774715\times 10^{-2}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 7

(c) Energia que incide na área A em tempo t. Com A = 1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2} e t=1\\ \mathrm{s}:
E = I \, A \, t = \frac{1}{4\pi}\times 1\times 10^{-4}\times 1\\ \mathrm{J} = 7{,}95774715\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

(c) Energia por fóton da radiação de limiar e número de fótons.
No caso do limiar, cada fóton tem energia exatamente \varphi (pois h\nu_0=\varphi). Já calculamos \varphi = 3{,}877267454\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O número de fótons que atingem a área em 1\\ \mathrm{s} é
N = \frac{E}{E_{\text{fóton}}} = \frac{E}{\varphi} = \frac{7{,}95774715\times 10^{-6}}{3{,}877267454\times 10^{-19}}.ó
Fazendo a divisão:
N \approx 2{,}05\times 10^{13}\\ \text{fótons}.ó
Explicação curta: a fonte entrega cerca de 7{,}96\times 10^{-6}\\ \mathrm{J} sobre aquela pequena área em 1 s; dividindo pela energia de um fóton de limiar obtemos o número de fótons.

Resposta

(a) \;K_{\text{máx}} = h\nu - \varphiá. Alternativamente \;eV_0 = h\nu - \varphi, onde K_{\text{máx}}á é a energia cinética máxima do elétron, h a constante de Planck, \nu a frequência da luz incidente, \varphi a função trabalho do metal, e a carga elementar e V_0 o potencial de parada.
(b) \;\nu_0 = 5{,}85\times 10^{14}\\ \mathrm{Hz}, \;\lambda_0 = 5{,}13\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} = 513\\ \mathrm{nm}.
(c) \;N \approx 2{,}05\times 10^{13}\\ \text{fótons}ó.

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