Se \alpha é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [I]_{\alpha}^{\alpha_{2}} ?

Passo 1

O enunciado: foi dada uma base \alpha de um espaço vetorial e pergunta-se qual é a matriz de mudança de base [I]_{\alpha}^{\alpha_{2}}.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • Existe uma base \alpha do espaço, que vou escrever como \alpha=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}.
  • Existe outra base, que chamo de \alpha_{2}=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{n}\}.
    O que o enunciado pede: descrever explicitamente a matriz [I]_{\alpha}^{\alpha_{2}}, isto é, a matriz que representa a transformação identidade I:V\to V quando tomamos \alpha como base no domínio e \alpha_{2} como base no contradomínio.

Passo 2

Definição útil (fórmula básica sobre matrizes de transformações lineares).
Se T:V\to V é uma transformação linear e \beta=\{u_{1},\dots,u_{n}\} é a base do domínio e \gamma=\{z_{1},\dots,z_{n}\} é a base do contradomínio, então a matriz [T]_{\beta}^{\gamma} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(u_{j}) na base \gamma. Ou seja, j-ésima coluna =\big[T(u_{j})\big]_{\gamma}.
Aplicando isso ao caso T=I (identidade), temos I(v_{j})=v_{j}. Logo a j-ésima coluna de [I]_{\alpha}^{\alpha_{2}} é \big[v_{j}\big]_{\alpha_{2}}, as coordenadas do vetor v_{j} (j-ésimo vetor de \alpha) expressas na base \alpha_{2}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente: seja \alpha=\{v_{1},\dots,v_{n}\} e \alpha_{2}=\{w_{1},\dots,w_{n}\}. Para cada j existe uma combinação única
v_{j}=c_{1j}w_{1}+c_{2j}w_{2}+\dots+c_{nj}w_{n}.
Então a coluna j da matriz [I]_{\alpha}^{\alpha_{2}} é o vetor coluna
\begin{pmatrix}c_{1j} \\\ c_{2j} \\\ \vdots \\\ c_{nj}\end{pmatrix} = \big[v_{j}\big]_{\alpha_{2}}.
Portanto
[I]_{\alpha}^{\alpha_{2}} = \begin{pmatrix} \big[v_{1}\big]_{\alpha_{2}} & \big[v_{2}\big]_{\alpha_{2}} & \cdots & \big[v_{n}\big]_{\alpha_{2}} \end{pmatrix},
ou seja, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de \alpha expressos na base \alpha_{2}.

Passo 4

Como calcular na prática cada coluna (passo a passo que dá pra fazer na prova): para cada v_{j}
  1. Escrever a igualdade \;v_{j}=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\dots+x_{n}w_{n}\;.
  2. Resolver para os coeficientes x_{1},\dots,x_{n} (um sistema linear de dimensão n).
  3. Colocar o vetor coluna \begin{pmatrix}x_{1}\\\ \vdots\\\ x_{n}\end{pmatrix} como a coluna j da matriz.
    Repetir para todo j=1,\dots,n.

Passo 5

Observação importante (caso especial): se \alpha_{2}=\alpha (ou seja, estamos representando identidade na mesma base), então para cada j a expressão de v_{j} em \alpha é exatamente v_{j}=0\cdot v_{1}+\dots+1\cdot v_{j}+\dots+0\cdot v_{n}. Portanto \big[v_{j}\big]_{\alpha} é o vetor coluna canônico e_{j}. Assim
[I]_{\alpha}^{\alpha} = I_{n},
a matriz identidade de ordem n.

Passo 6

Exemplo numérico pequeno para fixar (faça isto na prova se pedir um exemplo): considere V=\mathbb{R}^{2},
\alpha=\{v_{1}=(1,0),\;v_{2}=(1,1)\} e \alpha_{2}=\{w_{1}=(1,2),\;w_{2}=(0,1)\}.
Para v_{1}=(1,0) resolve-se
(1,0)=c_{11}(1,2)+c_{21}(0,1),
daí c_{11}=1 e 2c_{11}+c_{21}=0\Rightarrow c_{21}=-2. Logo \big[v_{1}\big]_{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Para v_{2}=(1,1) resolve-se
(1,1)=c_{12}(1,2)+c_{22}(0,1),
daí c_{12}=1 e 2c_{12}+c_{22}=1\Rightarrow c_{22}=-1. Logo \big[v_{2}\big]_{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto
[I]_{\alpha}^{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Isto ilustra exatamente a regra: cada coluna são as coordenadas de v_{j} na base \alpha_{2}.]

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (estou do seu lado, respira!):
  • Identifique claramente \alpha e \alpha_{2} e escreva os vetores de \alpha.
  • Para cada vetor de \alpha, monte o sistema para expressá‑lo em \alpha_{2} e resolva (substituição, eliminação de Gauss, etc.).
  • Os vetores solução viram colunas da matriz.
  • Se perceber que \alpha e \alpha_{2} coincidem, já cola o I_{n} e avança.

Resposta

[I]_{\alpha}^{\alpha_{2}} é a matriz cujas colunas são \big[v_{j}\big]_{\alpha_{2}} para j=1,\dots,n, isto é,
[I]_{\alpha}^{\alpha_{2}}=\begin{pmatrix}\big[v_{1}\big]_{\alpha_{2}} & \big[v_{2}\big]_{\alpha_{2}} & \cdots & \big[v_{n}\big]_{\alpha_{2}}\end{pmatrix}.
Em particular, se \alpha_{2}=\alpha então [I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}.

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