Determine vértice, foco e equação da diretriz de cada parábola:
\begin{array}{ll} x^{2}-2 x-20 y-39=0 & y^{2}+2 y-16 x-31=0 \\\ y^{2}+4 y+16 x-44=0 & y^{2}-16 x+2 y+49=0 \\\ y^{2}-12 x-12=0 & \end{array}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido. As parábolas fornecidas são (copiadas do enunciado):
\begin{array}{l} (1)\quad x^{2}-2x-20y-39=0,\\[4pt] (2)\quad y^{2}+2y-16x-31=0,\\[4pt] (3)\quad y^{2}+4y+16x-44=0,\\[4pt] (4)\quad y^{2}-16x+2y+49=0,\\[4pt] (5)\quad y^{2}-12x-12=0. \end{array}
O enunciado pede, para cada uma, encontrar:
  • o vértice;
  • o foco;
  • a equação da diretriz.
Essas são todas parábolas (cada uma tem só x^{2} ou só y^{2}). Nos próximos passos vou transformar cada equação para a forma padrão e extrair vértice, foco e diretriz.]

Passo 2

Antes de começar a resolver cada uma, um pequeno resumo didático do que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
  • Objetivo: colocar a equação na forma padrão de uma parábola, que pode ser vertical ou horizontal.
  • Formas padrão:
    • Parabola vertical (abre para cima ou para baixo): (x-h)^{2}=4p(y-k),onde (h,k) é o vértice, p é a distância do vértice ao foco. O foco é (h,k+p). A diretriz é a reta y=k-p.Se p>0 abre para cima; se p<0 abre para baixo.
    • Parabola horizontal (abre para a direita ou para a esquerda): (y-k)^{2}=4p(x-h),com vértice (h,k), foco (h+p,k) e diretriz x=h-p.Se p>0 abre para a direita; se p<0 abre para a esquerda.
  • Técnica principal: completar o quadrado na variável que aparece ao quadrado.
    Exemplo simples: transformar y^{2}+2y em (y+1)^{2}-1 porque (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1. Assim isolamos uma expressão no lado esquerdo com a forma (\cdot)^{2} e o lado direito fica 4p vezes algo.
Agora aplico essa técnica a cada equação, com passos claros.

Passo 3

Equação (1): x^{2}-2x-20y-39=0.
  1. Isolar termos com x e com y:
x^{2}-2x = 20y + 39.
  1. Completar o quadrado em x. Para x^{2}-2x adiciona-se 1 (porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1):
x^{2}-2x+1 = 20y + 39 +1.
  1. Escrever em forma de quadrado:
(x-1)^{2} = 20y + 40.
Fatorando 20:
(x-1)^{2} = 20(y+2).
  1. Comparar com (x-h)^{2}=4p(y-k): aqui h=1, k=-2 e 4p=20\Rightarrow p=5.
  2. Portanto:
  • Vértice: (1,-2).
  • Foco: (1,-2+p)=(1,3).
  • Diretriz: y = k-p = -2-5 = -7, ou seja y=-7.

Passo 4

Equação (2): y^{2}+2y-16x-31=0.
  1. Isolar termos com y e com x:
y^{2}+2y = 16x +31.
  1. Completar o quadrado em y. Para y^{2}+2y adiciona-se 1 (pois (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1):
y^{2}+2y+1 = 16x +31 +1.
  1. Escrever em forma de quadrado:
(y+1)^{2} = 16x +32.
Fatorando 16:
(y+1)^{2} = 16(x+2).
  1. Comparar com (y-k)^{2}=4p(x-h): aqui h=-2, k=-1 e 4p=16\Rightarrow p=4.
  2. Portanto:
  • Vértice: (-2,-1).
  • Foco: (h+p,k)=(-2+4,-1)=(2,-1).
  • Diretriz: x = h-p = -2-4 = -6, ou seja x=-6.

Passo 5

Equação (3): y^{2}+4y+16x-44=0.
  1. Isolar:
y^{2}+4y = -16x +44.
  1. Completar o quadrado em y. Para y^{2}+4y adiciona-se 4 (pois (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4):
y^{2}+4y+4 = -16x +44 +4.
  1. Escrever em forma de quadrado:
(y+2)^{2} = -16x +48.
Fatorando -16:
(y+2)^{2} = -16(x-3).
  1. Comparar com (y-k)^{2}=4p(x-h): aqui h=3, k=-2 e 4p=-16\Rightarrow p=-4. O sinal negativo indica que a parábola abre para a esquerda.
  2. Portanto:
  • Vértice: (3,-2).
  • Foco: (h+p,k)=(3-4,-2)=(-1,-2).
  • Diretriz: x = h-p = 3-(-4)=7, ou seja x=7.

Passo 6

Equação (4): y^{2}-16x+2y+49=0.
  1. Reorganizar agrupando y:
y^{2}+2y = 16x -49.
  1. Completar o quadrado em y: adicionar 1 (pois (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1):
y^{2}+2y+1 = 16x -49 +1.
  1. Escrever em forma de quadrado:
(y+1)^{2} = 16x -48.
Fatorando 16:
(y+1)^{2} = 16(x-3).
  1. Comparar: h=3, k=-1, 4p=16\Rightarrow p=4. Parabola abre para a direita.
  2. Portanto:
  • Vértice: (3,-1).
  • Foco: (h+p,k)=(3+4,-1)=(7,-1).
  • Diretriz: x = h-p = 3-4 = -1, ou seja x=-1.

Passo 7

Equação (5): y^{2}-12x-12=0.
  1. Isolar:
y^{2} = 12x +12.
  1. Colocar em forma com fator em x:
y^{2} = 12(x+1).
  1. Comparar com (y-k)^{2}=4p(x-h). Aqui k=0 (não há termo linear em y), h=-1, e 4p=12\Rightarrow p=3. Abre para a direita porque p>0.
  2. Portanto:
  • Vértice: (-1,0).
  • Foco: (h+p,k)=(-1+3,0)=(2,0).
  • Diretriz: x = h-p = -1-3 = -4, ou seja x=-4.

Resposta

(1) Vértice (1,-2), Foco (1,3), Diretriz y=-7
(2) Vértice (-2,-1), Foco (2,-1), Diretriz x=-6
(3) Vértice (3,-2), Foco (-1,-2), Diretriz x=7
(4) Vértice (3,-1), Foco (7,-1), Diretriz x=-1
(5) Vértice (-1,0), Foco (2,0), Diretriz x=-4

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