Determine vértice, foco e equação da diretriz de cada parábola:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido. As parábolas fornecidas são (copiadas do enunciado):
O enunciado pede, para cada uma, encontrar:
- o vértice;
- o foco;
- a equação da diretriz.
Essas são todas parábolas (cada uma tem só
ou só
). Nos próximos passos vou transformar cada equação para a forma padrão e extrair vértice, foco e diretriz.]
Passo 2
Antes de começar a resolver cada uma, um pequeno resumo didático do que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
-
Objetivo: colocar a equação na forma padrão de uma parábola, que pode ser vertical ou horizontal.
-
Formas padrão:
- Parabola vertical (abre para cima ou para baixo):
onde é o vértice, é a distância do vértice ao foco. O foco é . A diretriz é a reta Se abre para cima; se abre para baixo. - Parabola horizontal (abre para a direita ou para a esquerda):
com vértice , foco e diretriz Se abre para a direita; se abre para a esquerda.
- Parabola vertical (abre para cima ou para baixo):
-
Técnica principal: completar o quadrado na variável que aparece ao quadrado.
Exemplo simples: transformarem porque . Assim isolamos uma expressão no lado esquerdo com a forma e o lado direito fica vezes algo.
Agora aplico essa técnica a cada equação, com passos claros.
Passo 3
Equação (1):
.
- Isolar termos com
e com :
- Completar o quadrado em
. Para adiciona-se (porque ):
- Escrever em forma de quadrado:
Fatorando
:
-
Comparar com
: aqui , e . -
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
, ou seja .
Passo 4
Equação (2):
.
- Isolar termos com
e com :
- Completar o quadrado em
. Para adiciona-se (pois ):
- Escrever em forma de quadrado:
Fatorando
:
-
Comparar com
: aqui , e . -
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
, ou seja .
Passo 5
Equação (3):
.
- Isolar:
- Completar o quadrado em
. Para adiciona-se (pois ):
- Escrever em forma de quadrado:
Fatorando
:
-
Comparar com
: aqui , e . O sinal negativo indica que a parábola abre para a esquerda. -
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
, ou seja .
Passo 6
Equação (4):
.
- Reorganizar agrupando
:
- Completar o quadrado em
: adicionar (pois ):
- Escrever em forma de quadrado:
Fatorando
:
-
Comparar:
, , . Parabola abre para a direita. -
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
, ou seja .
Passo 7
Equação (5):
.
- Isolar:
- Colocar em forma com fator em
:
-
Comparar com
. Aqui (não há termo linear em ), , e . Abre para a direita porque . -
Portanto:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
, ou seja .
Resposta
(1) Vértice
, Foco
, Diretriz
(2) Vértice , Foco
, Diretriz
(3) Vértice , Foco
, Diretriz
(4) Vértice , Foco
, Diretriz
(5) Vértice , Foco
, Diretriz
(2) Vértice
(3) Vértice
(4) Vértice
(5) Vértice