Determine a equação da parábola sendo
vértice
e diretriz
vértice
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Vértice:
. - Diretriz:
.
O que é pedido: determinar a equação da parábola que tem esse vértice e essa diretriz.
Passo 2
Conceito essencial (explicando passo a passo): uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Para parábolas com eixo vertical (ou seja, diretriz horizontal), o vértice fica exatamente no ponto médio vertical entre o foco e a diretriz. Isso significa que, se a diretriz tem equação
e o foco tem coordenada vertical
, o vértice
satisfaz
Aqui o vértice é
, portanto
, e a diretriz é
, ou seja
. Substituindo na fórmula:
Logo o foco é o ponto
.
Passo 3
Definição prática para montar a equação: para uma parábola com eixo vertical e vértice em
, a forma padrão é
onde
é a distância assinada do vértice ao foco (positivo se o foco fica acima do vértice, negativo se ficar abaixo). Aqui
e
. Calculamos
como a coordenada vertical do foco menos
:
Portanto
. Substituindo na forma padrão:
ou seja
Passo 4
Formas equivalentes e interpretação rápida:
- Forma explícita (resolvendo para
):
- Sinal de
: como , a parábola abre para baixo (concorda com o foco em e a diretriz ). - Verificação rápida das posições: foco em
e diretriz em , conforme dado.