Determine a equação da parábola sendo
vértice \mathrm{V}(0,0) e diretriz \mathrm{y}=3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vértice: (0,0).
  • Diretriz: \mathrm{y}=3.
O que é pedido: determinar a equação da parábola que tem esse vértice e essa diretriz.

Passo 2

Conceito essencial (explicando passo a passo): uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Para parábolas com eixo vertical (ou seja, diretriz horizontal), o vértice fica exatamente no ponto médio vertical entre o foco e a diretriz. Isso significa que, se a diretriz tem equação \mathrm{y}=y_D e o foco tem coordenada vertical y_F, o vértice (h,k) satisfaz
k=\frac{y_F+y_D}{2}.
Aqui o vértice é (0,0), portanto k=0, e a diretriz é \mathrm{y}=3, ou seja y_D=3. Substituindo na fórmula:
0=\frac{y_F+3}{2}\quad\Rightarrow\quad y_F=-3.
Logo o foco é o ponto (0,-3).

Passo 3

Definição prática para montar a equação: para uma parábola com eixo vertical e vértice em (h,k), a forma padrão é
(x-h)^2=4p\,(y-k),
onde p é a distância assinada do vértice ao foco (positivo se o foco fica acima do vértice, negativo se ficar abaixo). Aqui h=0 e k=0. Calculamos p como a coordenada vertical do foco menos k:
p=y_F-k=-3-0=-3.
Portanto 4p=4\cdot(-3)=-12. Substituindo na forma padrão:
(x-0)^2=-12\,(y-0),
ou seja
x^2=-12y.

Passo 4

Formas equivalentes e interpretação rápida:
  • Forma explícita (resolvendo para \mathrm{y}):
y=-\frac{1}{12}x^2.
  • Sinal de p: como p=-3<0, a parábola abre para baixo (concorda com o foco em (0,-3) e a diretriz \mathrm{y}=3).
  • Verificação rápida das posições: foco em (0,k+p)=(0,-3) e diretriz em \mathrm{y}=k-p=0-(-3)=3, conforme dado.

Resposta

x^2=-12y
y=-\frac{1}{12}x^2

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