Se \alpha=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} são bases de \mathbb{R}^{3} cujos vetores relacionam-se pelas equações v_{1}=u_{1}+u_{2}, v_{2}=2 u_{1}+u_{2}+u_{3} e v_{3}=u_{1}+2 u_{2}+u_{3}, determine as matrizes [I]_{\beta}^{\alpha} \mathrm{e}[I]_{\alpha}^{\beta}.
Passo 1
O enunciado fornece duas bases \alpha=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} de \mathbb{R}^3 relacionadas por
Pede-se as matrizes de mudança de coordenadas [I]_{\beta}^{\alpha} e [I]_{\alpha}^{\beta}. Para isso, usamos que [I]_{\beta}^{\alpha} tem colunas dadas pelas coordenadas de cada v_{j} na base \alpha, e que [I]_{\alpha}^{\beta} é a inversa de [I]_{\beta}^{\alpha}.
Passo 2
Cada vetor v_j está expresso em função de \{u_1,u_2,u_3\}. Logo, suas coordenadas em \alpha são