Verifique que
é uma base de
e calcule as coordenadas do vetor
nessa base.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a família
é uma base de (polinômios de grau
) e, em seguida, calcular as coordenadas de
é uma base de
nessa base. O conteúdo envolvido é teoria de bases e mudança de coordenadas em espaços de polinômios.
Passo 2
Para ver que
é base de
, note a mudança de variável
Sob essa troca, a família
torna-se
, que é a base canônica de
. Como a transformação
é invertível,
é uma imagem de uma base por isomorfismo e, portanto, também é base de
.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de
em
, escrevemos
Expandindo cada termo em potências de
:
Logo,
Agrupando em potências de
:
Passo 4
Como
Da primeira equação vem (c_{1}=0]. Substituindo nas demais:
Resposta
As coordenadas de
na base
são