Verifique que \alpha=\left\{(1-x)^{3},(1-x)^{2}, 1-x, 1\right\} é uma base de P_{3}(x) e calcule as coordenadas do vetor p(x)=-x^{2}-2 x+3 nessa base.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família
\alpha=\bigl\{(1-x)^{3},\,(1-x)^{2},\,1-x,\,1\bigr\}
é uma base de P_{3}(x) (polinômios de grau <=3) e, em seguida, calcular as coordenadas de
p(x)=-x^{2}-2x+3
nessa base. O conteúdo envolvido é teoria de bases e mudança de coordenadas em espaços de polinômios.

Passo 2

Para ver que \alpha é base de P_{3}(x), note a mudança de variável
u = 1 - x.
Sob essa troca, a família \alpha torna-se \{u^{3},u^{2},u,1\}, que é a base canônica de P_{3}(u). Como a transformação x\mapsto u=1-x é invertível, \alpha é uma imagem de uma base por isomorfismo e, portanto, também é base de P_{3}(x).

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de p(x) em \alpha, escrevemos
p(x)=c_{1}(1-x)^{3}+c_{2}(1-x)^{2}+c_{3}(1-x)+c_{4}.
Expandindo cada termo em potências de x:
(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3},\quad (1-x)^{2}=1-2x+x^{2},\quad 1-x=1-x,\quad 1=1.
Logo,
p(x) = c_{1}(1-3x+3x^{2}-x^{3}) +c_{2}(1-2x+x^{2}) +c_{3}(1-x) +c_{4}.
Agrupando em potências de x:
p(x)=(-c_{1})x^{3}+(3c_{1}+c_{2})x^{2}+(-3c_{1}-2c_{2}-c_{3})x+(c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}).

Passo 4

Como p(x)=-x^{2}-2x+3\), com coeficiente de \(x^{3}\) nulo, igualamos termo a termo: \[\begin{cases} -c_{1}=0,\\\\ 3c_{1}+c_{2}=-1,\\\\ -3c_{1}-2c_{2}-c_{3}=-2,\\\ c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3. \end{cases}
Da primeira equação vem (c_{1}=0]. Substituindo nas demais:
c_{2}=-1,\quad 2- c_{3}=-2\implies c_{3}=4,\quad 0-1+4+c_{4}=3\implies c_{4}=0.

Resposta

As coordenadas de p(x) na base \alpha são
(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) = (0,\,-1,\,4,\,0).

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