O \alpha-\mathrm{Mn} possui uma estrutura cúbica com a=0,8931 \mathrm{~nm} e densidade igual a 7,47 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, enquanto o \beta-\mathrm{Mn} apresenta uma estrutura cúbica diferente, com a = 0,6326 \mathrm{~nm} e densidade de 7,26 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Sabendo que a massa atômica do manganês é 54,938 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e que seu raio atômico é 0,112 \mathrm{~nm}, determine a variação percentual de volume que ocorreria se o \alpha-\mathrm{Mn} se transformasse em \beta Mn .

Passo 1

O enunciado dá dois alótropos cúbicos de manganês com parâmetros de rede e densidades conhecidas, além da massa atômica. Queremos a variação percentual de volume ao passar de \alpha-Mn para \beta-Mn. Para isso vamos usar o conceito de volume específico (volume por unidade de massa) e a relação
V_\text{específico} = \frac{1}{\rho}.í

Passo 2

Calcular o volume específico de \alpha-Mn. Como \rho_\alpha = 7,47,g/c m^{3}, temos
V_\alpha = \frac{1}{\rho_\alpha} = \frac{1}{7,47}\;\mathrm{cm^3/g} \approx 0,1338\;\mathrm{cm^3/g}.

Passo 3

Calcular o volume específico de \beta-Mn. Como \rho_\beta = 7,26,g/c m^{3}, vem
V_\beta = \frac{1}{\rho_\beta} = \frac{1}{7,26}\;\mathrm{cm^3/g} \approx 0,1377\;\mathrm{cm^3/g}.

Passo 4

Determinar a variação percentual de volume ao passar de \alpha-Mn para \beta-Mn:
\frac{\Delta V}{V_\alpha}\times100\% = \frac{V_\beta - V_\alpha}{V_\alpha}\times100\% = \frac{0,1377 - 0,1338}{0,1338}\times100\% \approx 2,9\%.

Resposta

A transformação de \alpha-Mn em \beta-Mn corresponde a um aumento de volume de aproximadamente 2{,}9\%.

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