Abaixo estão listados os seguintes valores de três hipotéticos materiais metálicos: peso atômico, densidade e raio atômico. Para cada um deles, determine qual é a estrutura cristalina e justifique sua resposta.
Atomic
Weight
(\mathrm{g} / \mathrm{mol})
Density
\left(\mathrm{g/cm}^{3}\right)
Atomic
Radius
(\mathrm{nm})
Alloy 43.1 6.40 0.122
A 184.4 12.30 0.146
B 91.6 9.60 0.137
C

Passo 1

O enunciado fornece, para três metais hipotéticos (“Alloy”, “A” e “B”), o peso atômico A (g/mol), a densidade \rho (g/c m^{3}) e o raio atômico r (nm). Pede-se reconhecer a estrutura cristalina (simples cúbica, cúbica de corpo centrado ou cúbica de face centrada) de cada metal. Para isso vamos usar a relação entre densidade, parâmetro de rede a, número de átomos por célula n, peso atômico A e constante de Avogadro N_A.

Passo 2

A densidade de um cristal cúbico qualquer é dada por
\rho = \frac{n\,A}{N_A\,a^3},
onde n vale 1 para simples cúbica (SC), 2 para corpo centrado (BCC) e 4 para face centrada (FCC). O parâmetro de rede a relaciona-se ao raio atômico metálico r assim:
% \begin{aligned} \text{SC:}&\quad a = 2r,\\\ \text{BCC:}&\quad a = \frac{4r}{\sqrt{3}},\\\ \text{FCC:}&\quad a = 2\sqrt{2}\,r. \end{aligned}

Passo 3

Para “Alloy” temos A=43{,}1, \rho=6{,}40 e r=0{,}122 nm. Convertendo r para cm r=1{,}22\times10^{-8} cm) e testando:
– SC ( n=1, a=2r prediz \rho\approx3{,}20 g/c m^{3} (muito baixo).
– FCC n=4, a=2\sqrt2\,r prediz \rho\approx6{,}94 g/c m^{3}.
– BCC n=2, a=4r/\sqrt3 prediz \rho\approx6{,}41 g/c m^{3}, que coincide com 6{,}40.
Logo “Alloy” é BCC.

Passo 4

Para “A” temos A=184{,}4, \rho=12{,}30 e r=0{,}146 nm ( r=1{,}46\times10^{-8} cm). Repetindo:
– SC prediz \rho\approx12{,}28 g/c m^{3} (ótimo acordo).
– BCC e FCC dão \rho>15 g/c m^{3} (muito acima).
Logo “A” é cúbica simples (SC).

Passo 5

Para “B” temos A=91{,}6, \rho=9{,}60 e r=0{,}137 nm ( r=1{,}37\times10^{-8} cm). Testando:
– SC dá \rho\ll9{,}60.
– FCC dá \rho\approx10{,}45 g/c m^{3}.
– BCC dá \rho\approx9{,}61 g/c m^{3}, em excelente acordo.
Logo “B” é BCC.

Resposta

Alloy – estrutura BCC.
A – estrutura SC.
B – estrutura BCC.

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