O molibdênio possui uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC), raio atômico de 0,1363 \mathrm{~nm} e massa atômica de 95,94 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule: (a) o volume de átomos na célula unitária; (b) a densidade teórica do molibdênio.

Passo 1

O enunciado diz que o molibdênio tem estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC ou BCC), raio atômico r=0,1363\\ \mathrm{nm} e massa atômica M=95,94\\ \mathrm{g/mol}. Precisamos calcular
a) o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária;
b) a densidade teórica do molibdênio.
Para isso vamos usar:
  • Em BCC, número de átomos por célula unitária N=2.
  • Volume de N esferas de raio r:
V_\text{átomos}=N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.á
  • Parâmetro de rede em BCC:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}},
e volume da célula V_\text{célula}=a^3é.
  • Massa da célula: m_\text{célula}=N\cdot \dfrac{M}{N_A}é, com N_A de Avogadro.
  • Densidade:
\rho=\frac{m_\text{célula}}{V_\text{célula}}.éé

Passo 2

Calcular o volume dos átomos na célula unitária. Primeiro converto r para metros:
r = 0,1363\\ \mathrm{nm} = 1,363\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Logo
V_\text{átomos} =2\cdot \frac{4}{3}\pi (1,363\times10^{-10}\,\mathrm{m})^3 \approx 2,13\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^3.á

Passo 3

Calcular o volume da célula unitária. Em BCC
a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4\times1,363\times10^{-10}}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m} \approx 3,148\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
então
V_\text{célula} = a^3 \approx (3,148\times10^{-10}\,\mathrm{m})^3 \approx 3,12\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^3.é

Passo 4

Calcular a densidade teórica. A massa da célula é
m_\text{célula} =2\cdot \frac{95,94\\ \mathrm{g/mol}}{6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}} =3,186\times10^{-22}\\ \mathrm{g} =3,186\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.é
Logo a densidade é
\rho =\frac{m_\text{célula}}{V_\text{célula}} =\frac{3,186\times10^{-25}\,\mathrm{kg}}{3,12\times10^{-29}\,\mathrm{m}^3} \approx 1,02\times10^{4}\\ \mathrm{kg/m}^3 =10,2\\ \mathrm{g/cm}^3.éé

Resposta

a) V_\text{átomos}\approx 2,13\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^3á.
b) \rho\approx10,2\\ \mathrm{g/cm}^3.

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