Se
[I]_{\alpha}^{\alpha^{\prime}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] encontre:
v]_{\alpha^{\prime}} onde
[v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de base de \alpha para \alpha',
[I]_{\alpha}^{\alpha'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e o vetor coordenado em \alpha,
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Pede-se encontrar as coordenadas de v na base \alpha', ou seja [v]_{\alpha'}.

Passo 2

Para obter [v]_{\alpha'}, usamos a regra de mudança de base por multiplicação matricial:
[v]_{\alpha'} \;=\; [I]_{\alpha}^{\alpha'} \,\cdot\,[v]_{\alpha}.

Passo 3

Multiplicando as matrizes:
[v]_{\alpha'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 0\cdot 3\\\\ 0\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 + 1\cdot 3\\\\ 1\cdot(-1) + 0\cdot 2 + (-1)\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 1\\\\ -4 \end{pmatrix}.

Resposta

[v]_{\alpha'} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix}.

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