Considere o espaço vetorial real
U=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3} ; p(-1)=p(1)=0\right\} com produto interno
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^{1} p^{\prime}(x) q^{\prime}(x) d x, \quad \forall p, q \in U
(a) Prove que a função
\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t
define um produto interno em
, quaisquer que sejam
f, g \in \mathcal{C}([a, b])
.
(b) Prove, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
\left|\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t\right| \leq\left(\int_{a}^{b}(f(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{b}(g(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}
(c) Calcule o ângulo formado entre as funções
e
, com relação ao produto interno dado no item a), assumindo que no intervalo de integração se tenha
e
.
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço
em
com relação ao produto interno
\langle\cdot, \cdot\rangle
definido acima.