Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 \times 2 triangulares superiores. Sejam
\beta=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
e
\bar{\beta}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
duas bases de V. Encontre [I]_{\beta}^{\bar{\beta}}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das matrizes 2\times2 triangulares superiores, de dimensão 3. Temos duas bases \beta=\{v_1,v_2,v_3\} e \bar\beta=\{w_1,w_2,w_3\} e queremos encontrar a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\bar\beta}, isto é, para cada vetor v_j da base \beta expressá-lo como combinação linear dos vetores de \bar\beta; essas coordenadas formam as colunas de [I]_{\beta}^{\bar\beta}.

Passo 2

Denotemos
v_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
e
w_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad w_3 = \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Para cada v_j buscamos escalares (a,b,c) tais que
v_j = a\,w_1 + b\,w_2 + c\,w_3.

Passo 3

Para v_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} temos imediatamente
v_1 = 1\cdot w_1 + 0\cdot w_2 + 0\cdot w_3,
logo suas coordenadas em \bar\beta são (1,0,0).

Passo 4

Para v_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\) escrevemos \[a\,w_1 + b\,w_2 + c\,w_3 = \begin{pmatrix}a+b+c & b+c \\\\ 0 & c\end{pmatrix} \stackrel!= \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ b + c = 1,\\\ c = 0. \end{cases}
Da última equação c=0\]. Então \(b=1 e a=-b-c=-1. Logo as coordenadas de v_2 em \bar\beta são (-1,1,0).

Passo 5

Para v_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\) fazemos o mesmo: \[a\,w_1 + b\,w_2 + c\,w_3 = \begin{pmatrix}a+b+c & b+c \\\\ 0 & c\end{pmatrix} \stackrel!= \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
o que dá
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\ b + c = 0,\\\ c = 1. \end{cases}
Daí c=1\], \(b=-1 e a=-b-c=0. As coordenadas de v_3 em \bar\beta são (0,-1,1).

Passo 6

Reunindo as colunas formadas pelas coordenadas de v_1,v_2,v_3 em \bar\beta, obtemos
[I]_{\beta}^{\bar\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\beta}^{\bar{\beta}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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