Seja \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) o espaço das funções com derivada de segunda ordem contínua em \mathbb{R}. Considere o subespaço W=\left\{f \in \mathcal{C}^{2} ; f^{\prime \prime}-f^{\prime}=0\right\} de \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}). Mostre que todo elemento do subespaço vetorial U=\left[1, e^{x}\right] pertence a W.

Passo 1

O enunciado define \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) como o espaço das funções com derivada de segunda ordem contínua em \mathbb{R} e
W=\{\,f\in\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) : f''-f'=0\}.
Também temos o subespaço gerado por
U=[\,1,e^{x}\,]=\{\,a\cdot1 + b\,e^{x} : a,b\in\mathbb{R}\}.
A tarefa é mostrar que todo f\in U satisfaz f''-f'=0, ou seja, U\subset W.

Passo 2

Verificamos primeiro para a função constante f_{1}(x)=1.
Como
f_{1}'(x)=0 \quad\text{e}\quad f_{1}''(x)=0,
temos
f_{1}''(x)-f_{1}'(x)=0-0=0,
logo 1\in W.

Passo 3

Agora para f_{2}(x)=e^{x}.
Calculamos
f_{2}'(x)=e^{x} \quad\text{e}\quad f_{2}''(x)=e^{x},
de onde
f_{2}''(x)-f_{2}'(x)=e^{x}-e^{x}=0,
portanto e^{x}\in W.

Passo 4

Como W é subespaço vetorial, o operador linear
L[f]=f''-f'
satisfaz
L(a\cdot1 + b\,e^{x})=a\,L(1) + b\,L(e^{x})=a\cdot0 + b\cdot0=0.
Isto mostra que qualquer combinação linear f(x)=a + b\,e^{x} verifica f''-f'=0.

Resposta

Todo elemento de U=[1,e^{x}] pertence a W, ou seja, U\subset W.

Exercícios relacionados