Um alternador trifásico de 250 \mathrm{MVA}, 24 \mathrm{kV}, 60 \mathrm{~Hz}, trifásico está operando a tensão nominal, frequência nominal e potência aparente avaliada com um fator de potência terminal de 0,8 atrasado. Resistencia da armadura desprezível. A tensão de excitação E_{f}=20 \mathrm{kV}. Determine:
3.1 O Angulo de torque \delta
3.2 O valor da reatância síncrona X_{s}

Passo 1

O enunciado descreve um alternador síncrono trifásico de 250;MVA, 24;kV, 60;Hz, operando à tensão e frequência nominais com fator de potência terminal \cos\varphi = 0,8 atrasado. A resistência da armadura é desprezível e a tensão interna (tensão de excitação) por fase é \displaystyle E_f = 20\,\text{kV}.
Conteúdo: equação fasorial do gerador síncrono
\tilde E = \tilde V + jX_s\,\tilde I
Precisamos calcular (i) o ângulo de torque \delta = \arg(\tilde E) - \arg(\tilde V) e (ii) a reatância síncrona X_s.

Passo 2

Primeiro, encontramos a tensão e corrente por fase. Em estrela (linha-terminal 24;kV),
V = \frac{24\,\text{kV}}{\sqrt{3}} \approx 13{,}856\;\text{V}.
A corrente de linha (e por fase) é
I = \frac{S_{\text{tot}}}{\sqrt{3}\,V_{\text{LL}}} = \frac{250\times10^6}{\sqrt{3}\times24\times10^3} \approx 6{,}016\;\text{A}.
Como o fator de potência é atrasado, a corrente atrasa a tensão de \varphi = \cos^{-1}(0,8) = 36{,}87^\circ. Logo
\displaystyle \tilde V = V\angle 0^\circ e \displaystyle \tilde I = I\angle(-36{,}87^\circ).

Passo 3

Usando
\tilde E = \tilde V + jX_s\,\tilde I,
multiplicamos \tilde I por j:
\displaystyle j\tilde I = I\angle(90^\circ -36{,}87^\circ).
Separando partes real e imaginária de \tilde E:
\Re(\tilde E) = V + X_s\,I\sin\varphi, \qquad \Im(\tilde E) = X_s\,I\cos\varphi.
Como \lvert\tilde E\rvert = E_f, impomos
\bigl(V + X_s I\sin\varphi\bigr)^2 + \bigl(X_s I\cos\varphi\bigr)^2 = E_f^2.

Passo 4

Expandindo a igualdade do passo anterior resulta na equação quadrática em X_s:
I^2\,X_s^2 + 2\,V\,I\sin\varphi\;X_s + \bigl(V^2 - E_f^2\bigr) = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara e tomando a raiz positiva, obtemos
X_s = \frac{-2VI\sin\varphi + \sqrt{(2VI\sin\varphi)^2 -4\,I^2(V^2 - E_f^2)}}{2I^2}.

Passo 5

Substituindo valores numéricos ( V=13\,856;V, I=6\,016;A, \sin\varphi=0,6, \cos\varphi=0,8, E_f=20\,000;V) na fórmula do passo 4, encontra-se
X_s \approx 1{,}385\;\Omega\quad\text{(por fase)}.

Passo 6

Com X_s conhecido, recalculamos
\Re(\tilde E)=V + X_s I\sin\varphi \approx 13\,856 +1{,}385\times6\,016\times0,6 \approx 18\,856\;\text{V},
\Im(\tilde E)=X_s I\cos\varphi \approx 1{,}385\times6\,016\times0,8 \approx 6\,666\;\text{V}.
O ângulo de torque \delta é
\delta = \arg(\tilde E) = \tan^{-1}\!\Bigl(\frac{\Im(\tilde E)}{\Re(\tilde E)}\Bigr) \approx \tan^{-1}(0{,}3537)\approx 19{,}5^\circ.

Resposta

3.1 \displaystyle \delta \approx 19{,}5^\circ.
3.2 \displaystyle X_s \approx 1{,}385\;\Omega por fase (equivalente a X_s\approx0{,}60 pu).

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