Calcular o valor de \alpha^{2}-\alpha.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \alpha^{2}-\alpha.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma sobre o que é \alpha (nenhum valor numérico nem nenhuma equação que \alpha satisfaça).
Pergunta que preciso responder: qual é o valor numérico de \alpha^{2}-\alpha ou, se não for possível, apresentar o que se pode afirmar sobre essa expressão com as informações dadas.

Passo 2

Primeiro passo óbvio: escrever a expressão de forma mais manejável. Vamos fatorar \alpha^{2}-\alpha usando a propriedade distributiva (fator comum).
Aplicando fator comum em \alpha^{2}-\alpha obtemos:
\alpha^{2}-\alpha=\alpha\cdot(\alpha-1).
Explicando essa operação: a propriedade distributiva diz que x\cdot y + x\cdot z = x\cdot(y+z). Aqui temos \alpha^{2}=\alpha\cdot\alpha e -\alpha=\alpha\cdot(-1). Colocando \alpha em evidência: \alpha\cdot\alpha+\alpha\cdot(-1)=\alpha(\alpha-1).

Passo 3

O que essa fatoração nos dá, didaticamente: a expressão \alpha^{2}-\alpha vale exatamente \alpha(\alpha-1) para qualquer \alpha. Isso é uma identidade algébrica — não depende de saber o valor de \alpha.
Mas observar que essa forma não é um valor numérico; é apenas uma reescrita.

Passo 4

Para obter um valor numérico (um número concreto) para \alpha^{2}-\alpha é necessário ter informação adicional sobre \alpha. Existem dois tipos comuns de informação que permitiriam calcular o número:
  • conhecer o valor numérico de \alpha (por exemplo \alpha=3), então basta substituir na expressão fatorada: \alpha(\alpha-1)=3\cdot(3-1)=6;
  • conhecer uma equação que \alpha satisfaça (por exemplo \alpha^{2}+2\alpha-3=0); nesse caso usa-se a equação para eliminar \alpha^{2} e obter um valor para \alpha^{2}-\alpha.

Passo 5

Vou mostrar como proceder se a informação fosse uma equação polinomial: suponha que \alpha satisfaça a\alpha^{2}+b\alpha+c=0 com a\neq0. Então
\alpha^{2}=\frac{-b\alpha-c}{a}.
Substituindo em \alpha^{2}-\alpha obtemos
\alpha^{2}-\alpha=\frac{-b\alpha-c}{a}-\alpha=\frac{-b\alpha-c-a\alpha}{a}=\frac{-(a+b)\alpha-c}{a}.
Ou seja, com a equação conhecida é possível expressar \alpha^{2}-\alpha em termos de \alpha e dos coeficientes; às vezes, usando também que \alpha é uma raiz (por exemplo somas/produtos de raízes), dá para obter um número. Este é apenas um exemplo de técnica — o procedimento específico depende da equação dada.

Passo 6

Conclusão prática para esta questão: com o enunciado dado não há informação suficiente para calcular um valor numérico para \alpha^{2}-\alpha. O máximo que se pode afirmar sem mais dados é a forma fatorada e as estratégias para calcular um valor caso venha a existir informação adicional.

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico sem mais informação sobre \alpha.
Expressão simplificada: \alpha(\alpha-1).

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