Qual das alternativas abaixo representa uma troca de ordem das variáveis na região descrita por
.
.
Nenhuma das alternativas anteriores.
Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das alternativas representa uma troca na ordem das variáveis na região definida por certas desigualdades. A matéria envolvida aqui é Integração Triple e Regiões no Espaço Tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem das variáveis em integrais múltiplas e como isso afeta os limites das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa trocar a ordem das variáveis. Imagine que você tem uma região no espaço onde as variáveis
,
e
estão restritas por certas condições. A ordem das variáveis determina qual variável depende de qual. Mudar essa ordem pode simplificar cálculos em integrais, por exemplo.
Passo 3
Vamos analisar as desigualdades originais:
Aqui,
varia de 0 a 3. Para cada valor de
,
varia de 0 até
. E, para cada par
,
varia de 0 até
.
Passo 4
Queremos trocar a ordem das variáveis, por exemplo, escolher uma ordem diferente como
,
,
. Para isso, precisamos reescrever os limites das desigualdades de acordo com essa nova ordem.
Passo 5
Mantendo
como a primeira variável, determinamos os limites para
em termos de
. Observamos que, originalmente,
depende de
e
. Mas se queremos que
venha antes de
, precisamos expressar os limites de
em termos de
e
.
Passo 6
Reescrevendo os limites:
-
continua igual. - Para
, temos (isto é retirado da desigualdade original para , ignorando inicialmente). - Agora, para
, precisamos considerar os limites após fixar e . A desigualdade original para era , mas agora, como já está fixado, ajustamos para .
Passo 7
Então, a nova ordem das variáveis
,
,
resulta nas seguintes desigualdades:
Resposta
A alternativa correta que representa a troca de ordem das variáveis é: