Qual das alternativas abaixo representa uma troca de ordem das variáveis na região descrita por
0 <= z <= 3,0 <= y <= 4-4 z3, 0 <= x <= 5-5 z3-5 y4 ?
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5-5 z3, 0 <= y <= 4-4 z3
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5-5 z3-5 y4, 0 <= y <= 4-4 z3.
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5-5 z3, 0 <= y <= 4-4 z3-4 x5.
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5, 0 <= y <= 4-4 z3
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5-5 z3, 0 <= y <= 4-4 x5
Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das alternativas representa uma troca na ordem das variáveis na região definida por certas desigualdades. A matéria envolvida aqui é Integração Triple e Regiões no Espaço Tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem das variáveis em integrais múltiplas e como isso afeta os limites das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa trocar a ordem das variáveis. Imagine que você tem uma região no espaço onde as variáveis x, y e z estão restritas por certas condições. A ordem das variáveis determina qual variável depende de qual. Mudar essa ordem pode simplificar cálculos em integrais, por exemplo.

Passo 3

Vamos analisar as desigualdades originais:
0 <= z <= 3, 0 <= y <= 4 - 4 z3, 0 <= x <= 5 - 5 z3 - 5 y4
Aqui, z varia de 0 a 3. Para cada valor de z, y varia de 0 até 4 - 4 z3. E, para cada par (z, y), x varia de 0 até 5 - 5 z3 - 5 y4.

Passo 4

Queremos trocar a ordem das variáveis, por exemplo, escolher uma ordem diferente como z, x, y. Para isso, precisamos reescrever os limites das desigualdades de acordo com essa nova ordem.

Passo 5

Mantendo z como a primeira variável, determinamos os limites para x em termos de z. Observamos que, originalmente, x depende de z e y. Mas se queremos que x venha antes de y, precisamos expressar os limites de y em termos de z e x.

Passo 6

Reescrevendo os limites:
  • 0 <= z <= 3 continua igual.
  • Para x, temos 0 <= x <= 5 - 5 z3 (isto é retirado da desigualdade original para x, ignorando y inicialmente).
  • Agora, para y, precisamos considerar os limites após fixar z e x. A desigualdade original para y era 0 <= y <= 4 - 4 z3, mas agora, como x já está fixado, ajustamos para 0 <= y <= 4 - 4 z3 - 4 x5.

Passo 7

Então, a nova ordem das variáveis z, x, y resulta nas seguintes desigualdades:
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5 - 5 z3, 0 <= y <= 4 - 4 z3 - 4 x5

Resposta

A alternativa correta que representa a troca de ordem das variáveis é:
0 <= z <= 3, 0 <= x <= 5-5 z3, 0 <= y <= 4-4 z3-4 x5.

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