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Na transformação de variáveis x=u^5 v^2 e y=u^4 v^3, o jacobiano
det[ll partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v ]
é igual a
-3 u^8 v^4
12 u^8 v^4
11 u^8 v^4.
-1 u^8 v^4
1 u^8 v^4
outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre transformação de variáveis, onde temos $ x = u^{5} v^{2} $ e $ y = u^{4} v^{3} $. A gente precisa encontrar o determinante jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e montá-las em uma matriz para encontrar o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o jacobiano. O jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis $ x $ e $ y $ em relação às antigas variáveis $ u $ e $ v $. No nosso caso, a matriz jacobiana fica assim:
x

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. partial xpartial u:
    x = u^5 v^2 Rightarrow partial xpartial u = 5u^4 v^2
  2. partial xpartial v:
    x = u^5 v^2 Rightarrow partial xpartial v = 2u^5 v
  3. partial ypartial u:
    y = u^4 v^3 Rightarrow partial ypartial u = 4u^3 v^3
  4. partial ypartial v:
    y = u^4 v^3 Rightarrow partial ypartial v = 3u^4 v^2

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos montar a matriz jacobiana:
J = 5u^4 v^2 & 2u^5 v 4u^3 v^3 & 3u^4 v^2

Passo 5

Para encontrar o determinante dessa matriz, usamos a regra básica para matrizes 2x2:
det(J) = (5u^4 v^2)(3u^4 v^2) - (2u^5 v)(4u^3 v^3)

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
    5u^4 v^2 times 3u^4 v^2 = 15u^8 v^4
  2. Segundo termo:
    2u^5 v times 4u^3 v^3 = 8u^8 v^4

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula do determinante:
det(J) = 15u^8 v^4 - 8u^8 v^4 = 7u^8 v^4

Resposta

O determinante jacobiano é igual a $ 7u^{8} v^{4} $.

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