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Marcar questāo
Na transformação de variáveis
e
, o jacobiano
é igual a
.
outro valor.
Marcar questāo
outro valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre transformação de variáveis, onde temos $ x = u^{5} v^{2} $ e $ y = u^{4} v^{3} $. A gente precisa encontrar o determinante jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e montá-las em uma matriz para encontrar o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o jacobiano. O jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis $ x $ e $ y $ em relação às antigas variáveis $ u $ e $ v $. No nosso caso, a matriz jacobiana fica assim:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
: -
: -
: -
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos montar a matriz jacobiana:
Passo 5
Para encontrar o determinante dessa matriz, usamos a regra básica para matrizes 2x2:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
Passo 7
Substituindo de volta na fórmula do determinante:
Resposta
O determinante jacobiano é igual a $ 7u^{8} v^{4} $.