Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^6 ?
y(t) = t^7 / 12 + c t^3.
d] y(t) = t^7 / 12 + c.
b y(t) = -t^7/2 + c t^9.
e) y(t) = -t^7/2 + c.
© y(t) = t^10 + c t^9.
f y(t) = t^10 + c.

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada, que é do tipo linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo todos os termos por 3, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Calculando a integral:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Portanto, a alternativa correta é:
a) .

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