Considere a solução do problema de valor inicial
dy/dt = -(y^3 + y^2)(y - 1) y(t0) = y0
Podemos afirmar que
Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
b Se -1 < y0 < +1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
c Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
d Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1 ou y0 > 1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
e Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma equação diferencial de valor inicial, que é basicamente uma equação que descreve como uma quantidade muda ao longo do tempo . A equação que temos é:
E a condição inicial é . A questão nos dá várias opções sobre para onde a solução tende quando vai para mais infinito, dependendo do valor inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender os pontos de equilíbrio da equação e a estabilidade deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de que fazem com que . Então, igualando a equação a zero:
Isso dá três soluções:
Estes são os pontos onde a solução pode “ficar parada” se começar exatamente neles.

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Isso nos diz o que acontece se a solução começar perto de um desses pontos:
  • :
    • Vamos olhar o sinal de perto de 0.
    • Se for um pouco maior que 0, digamos : Isso significa que vai aumentar.
    • Se for um pouco menor que 0, digamos :Aqui também vai aumentar.
    • Então, perto de , tende a aumentar, indicando que é um ponto instável.
  • :
    • Se for um pouco maior que -1, por exemplo, : aumenta.
    • Se for um pouco menor que -1, digamos : diminui.
    • Isso indica que é um ponto estável por um lado e instável pelo outro.
  • :
    • Se for um pouco maior que 1, por exemplo, : diminui.
    • Se for um pouco menor que 1, digamos : aumenta.
    • Assim, também é um ponto estável por um lado e instável pelo outro.

Passo 4

Com essa análise de estabilidade, podemos determinar para onde a solução vai conforme cresce:
  • Se :
    • A solução está entre -1 e 0.
    • Como é instável e é estável de um lado, a solução tende a se aproximar de 0.
  • Se :
    • A solução está entre 0 e 1.
    • Como é estável de um lado, a solução tende a se aproximar de 1.
  • Se ou :
    • Fora dos pontos de equilíbrio.
    • A solução tende a infinito positivo ou negativo, respectivamente.

Passo 5

Comparando com as opções dadas:
  • Opção b:
    • Se , aproxima de 0.
    • Se , |y(t)| → ∞.
    • Se , aproxima de +1.
    • Isso está correto de acordo com nossa análise.

Resposta

A opção b é a correta.

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