A uma altitude de 20 km , a temperatura é de 217 K e a pressão,
. Qual é o livre percurso médio das moléculas de N.?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o livre percurso médio das moléculas de nitrogênio ($ N_2 $) a uma altitude de 20 km, onde a temperatura é de 217 K e a pressão é de 0,050 atm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física dos gases, como a lei dos gases ideais e a fórmula do livre percurso médio. Vamos precisar também da área de colisão das moléculas, que é dada como $ r = 0,43 , nm^2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o livre percurso médio ($ \lambda $). Ele representa a distância média que uma molécula percorre antes de colidir com outra. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde:
- $ n $ é a densidade de moléculas (número de moléculas por unidade de volume).
- $ \sigma $ é a seção de choque, que é basicamente a área efetiva para colisões entre moléculas.
Passo 3
Vamos calcular a densidade de moléculas ($ n $) usando a lei dos gases ideais. A fórmula da lei dos gases ideais é:
Onde:
- $ P $ é a pressão.
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $).
- $ T $ é a temperatura.
Rearranjando para encontrar $ n $:
Passo 4
Antes de continuar, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis. A pressão está em atm, então vamos converter para pascal (Pa), porque a constante de Boltzmann está em J/K e 1 atm = $ 1,013 \times 10^5 $ Pa.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ n $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a seção de choque ($ \sigma
r $) foi dada como $ 0,43 , nm^2 $. Primeiro, vamos converter para metros quadrados:
Passo 7
Com $ n $ e $ \sigma $ calculados, podemos usar a fórmula do livre percurso médio:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então,
Resposta
O livre percurso médio das moléculas de $ N_2 $ a 20 km de altitude é aproximadamente $ 9,7 \times 10^{-7} , metros $ (ou 970 nanômetros).