A uma altitude de 20 km , a temperatura é de 217 K e a pressão, 0,050 atm. Qual é o livre percurso médio das moléculas de N.? (r=0,43 nm^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o livre percurso médio das moléculas de nitrogênio ($ N_2 $) a uma altitude de 20 km, onde a temperatura é de 217 K e a pressão é de 0,050 atm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física dos gases, como a lei dos gases ideais e a fórmula do livre percurso médio. Vamos precisar também da área de colisão das moléculas, que é dada como $ r = 0,43 , nm^2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o livre percurso médio ($ \lambda $). Ele representa a distância média que uma molécula percorre antes de colidir com outra. Para calcular isso, usamos a fórmula:
lambda
Onde:
  • $ n $ é a densidade de moléculas (número de moléculas por unidade de volume).
  • $ \sigma $ é a seção de choque, que é basicamente a área efetiva para colisões entre moléculas.

Passo 3

Vamos calcular a densidade de moléculas ($ n $) usando a lei dos gases ideais. A fórmula da lei dos gases ideais é:
n
Onde:
  • $ P $ é a pressão.
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $).
  • $ T $ é a temperatura.
Rearranjando para encontrar $ n $:
P = n , kB , T

Passo 4

Antes de continuar, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis. A pressão está em atm, então vamos converter para pascal (Pa), porque a constante de Boltzmann está em J/K e 1 atm = $ 1,013 \times 10^5 $ Pa.
1,013 times 10^5

Passo 5

Agora, vamos calcular $ n $:
n
n = 5065 , Pa1,38 times 10^-23 , J/K times 217 , K
n = 5065(1,38 times 10^-23) times 217
n approx 50652,9946 times 10^-21 é

Passo 6

Agora, vamos encontrar a seção de choque ($ \sigma sigma áã r $) foi dada como $ 0,43 , nm^2 $. Primeiro, vamos converter para metros quadrados:
r

Passo 7

Com $ n $ e $ \sigma $ calculados, podemos usar a fórmula do livre percurso médio:
n
Substituindo os valores:
sigma

Passo 8

Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz2 times 1,692 times 10^24 times 0,43 times 10^-18 = 1,414 times 1,692 times 0,43 times 10^6
approx 1,414 times 1,692 times 0,43 times 10^6
approx 1,03 times 10^6
Então,
lambda = 11,03 times 10^6 approx 9,7 times 10^-7 , m

Resposta

O livre percurso médio das moléculas de $ N_2 $ a 20 km de altitude é aproximadamente $ 9,7 \times 10^{-7} , metros $ (ou 970 nanômetros).

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